8.2.2 第2课时 两角和与差的正切（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

训练二十三　两角和与差的正切 [对应素能提升训练第43页] 1.的值等于 （　　） A.tan 42° B.tan 3° C.1 D.tan 24° 解析　∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan（60°－18°）＝tan 42°. 答案　A 2.若tan α＝2，tan（α＋β）＝3，则tan β＝ （　　） A. B.－1 C. D.－ 解析　tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝. 答案　A 3.已知θ是第二象限角，sin＝，则tan θ＝ （　　） A.－ B.－ C.－ D.－7 解析　θ是第二象限角，sin＝， 所以cos＝－ ＝－， 所以tan＝＝－， 所以＝－，即＝－， 解得tan θ＝－7，故选D. 答案　D 4.若tan（180°－α）＝－，则tan（α＋405°）等于 （　　） A. B.7 C.－ D.－7 解析　因为tan（180°－α）＝－tan α＝－，所以tan α＝，因此tan（α＋405°）＝tan（α＋45°）＝＝＝－7. 答案　D 5.tan θ和tan是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q之间的关系是 （　　） A.p＋q＋1＝0 B.p－q－1＝0 C.p＋q－1＝0 D.p－q＋1＝0 解析　因为tan θ和tan是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，所以－p＝tan θ＋tan＝tan θ＋＝，q＝tan θtan＝tan θ＝，所以－p＋q＝＋＝1，即p－q＋1＝0，故选D. 答案　D 6.若（tan α－1）（tan β－1）＝2，则α＋β的最小正值为　　　　.  解析　tan αtan β－（tan α＋tan β）＋1＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，tan（α＋β）＝＝－1，所以α＋β的最小正值为. 答案　 7.求值tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°＝　　　　.  解析　∵tan 30°＝tan（10°＋20°）＝＝， ∴tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°＝. 答案　 8.已知cos α＝，α∈（0，π），tan（α－β）＝，求tan β及tan（2α－β）. 解　因为cos α＝＞0，α∈（0，π），所以sin α＞0. 所以sin α＝＝ ＝， 所以tan α＝＝＝. 所以tan β＝tan[α－（α－β）]＝ ＝＝； tan（2α－β）＝tan[α＋（α－β）]＝ ＝＝2. 9.如图，三个全等的矩形相接，且AB＝a，AD＝b. （1）若b＝2a，求tan（α＋β）的值； （2）已知α＋β＝γ，求的值. 解　（1）如图，若b＝2a，则tan α＝，tan β＝1， 所以tan（α＋β）＝＝＝5. （2）如图可得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝， 因为α＋β＝γ，所以tan（α＋β）＝＝tan γ， 即＝， 化简得a2＝b2，所以a＝b，所以的值为1. 10.1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90 m，山高160 m，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为 （　　） A. B. C. D. 解析　由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为l＝＝200 m处观察，设此时视角为θ，塔底离地面高度为n，塔顶离地面高度为m， 则l＝，则tan θ＝＝＝， 故sin θ＝＝＝. 答案　B 11.已知tan α，tan β是方程x2－x－2＝0的两个实数根，且α，β∈，则α＋β的值 （　　） A. B. C.－ D.或－ 解析　因为tan α，tan β是方程x2－x－2＝0的两个实数根，所以所以tan（α＋β）＝＝＝.因为α，β∈且tan α＋tan β＝＞0，tan αtan β＝－2＜0，不妨设tan α＞0，tan β＜0，则α∈，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝，故选B. 答案　B 12.在平面直角坐标系xOy中，角α（0＜α＜π）的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若点P是角α终边上一点，则α的值是 （　　） A. B. C. D. 解析　tan α＝＝ ＝tan＝tan ， 因为0＜α＜π，所以α＝. 答案　C 13.（2022·郑州高一期末）已知α，β∈（0，π），tan α，tan β是方程x2＋ax＋a＋1＝0（a＞0）的两根. （1）求α＋β； （2）