8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

训练二十二　两角和与差的正弦 [对应素能提升训练第41页] 1.cos 75°－sin 75°＝ （　　） A.－ B. C.－ D. 解析　cos 75°－sin 75°＝·＝·sin（45°－75°）＝－sin 30°＝－. 答案　A 2.已知α∈，cos α＝，则sin＝ （　　） A. B. C. D. 解析　∵α∈，cos α＝，∴sin α＝＝，∴sin＝sin α×－cos α×＝×－×＝，故选A. 答案　A 3.已知α为锐角，且＝tan，则角α＝ （　　） A. B. C. D. 解析　由题得＝，∵α为锐角，∴sin＝cos，∴sin α－cos α＝cos α－sin α，∴sin α＝cos α，∴tan α＝1.∵α为锐角，∴α＝. 答案　C 4.已知α∈，β∈，且cos（α－β）＝，sin β＝－，则α的值为 （　　） A. B. C. D. 解析　∵α∈，β∈，∴α－β∈（0，π）. ∵cos（α－β）＝，∴sin（α－β）＝.∵β∈， sin β＝－，∴cos β＝.∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝ sin（α－β）cos β＋cos（α－β）sin β＝×＋×＝，∴α＝. 答案　C 5.已知f（x）＝sin 2x＋cos 2x，则f（x）的周期为 （　　） A.π B.2π C.1 D.2 解析　f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，周期为T＝＝π. 答案　A 6.化简：sin（θ＋105°）cos（θ－15°）－cos（θ＋105°）sin（θ－15°）＝　　　　.  解析　根据两角差的正弦公式，可知sin（θ＋105°）cos（θ－15°）－cos（θ＋105°）sin（θ－15°）＝sin[（θ＋105°）－（θ－15°）]＝sin 120°＝. 答案　 7.已知α为钝角，cos＝－，则sin α＝　　　　.  解析　α为钝角，∴α－∈. 又∵cos＝－， ∴sin＝ ＝， ∴sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×－×＝. 答案　 8.已知sin α＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，求β. 解　因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝. 因为－＜α－β＜且sin（α－β）＝－， 所以cos（α－β）＝， 所以sin β＝sin[（β－α）＋α] ＝sin（β－α）cos α＋cos（β－α）sin α ＝×＋×＝. 因为β为锐角，所以β＝. 9.已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，求cos的值. 解　因为α，β∈， 所以＜α＋β＜2π，＜β－＜. 因为sin（α＋β）＝－，sin＝， 所以cos（α＋β）＝，cos＝－， 所以cos＝cos ＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin ＝×＋×＝－. 10.已知2sin αcos β＝1，则cos αsin β的取值范围是 （　　） A. B.[－1，1] C. D. 解析　设t＝cos αsin β， 则sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋t， 从而可得－1≤＋t≤1，即－≤t≤， ① 又由sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝－t， 得－1≤－t≤1， 所以－≤t≤， ② 综合①②得－≤t≤. 答案　D 11.（多选）设函数f（x）＝sin＋cos，则 （　　） A.y＝f（x）的最小值为－，其周期为π B.y＝f（x）的最小值为－2，其周期为 C.y＝f（x）在上单调递增，其图象关于直线x＝对称 D.y＝f（x）在上单调递减，其图象关于直线x＝对称 解析　f（x）＝sin＝cos 2x，函数的最小值是－，周期T＝＝π，故A正确，B错误；x∈时，2x∈（0，π），所以y＝f（x）在上单调递减，令2x＝kπ，得x＝，k∈Z，其中一条对称轴是x＝，故C错误，D正确. 答案　AD 12.（多选）在下列选项中，正确的是 （　　） A.sin 17°cos 13°＋cos 17°sin 13°＝ B.cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝ C.存在角α，β，使得sin（α＋β）＜sin α＋sin β成立 D.对于任意角α，β，式子cos（α＋β）＜cos α＋cos β都成立 解析　对于A，sin 17°cos 13°＋cos 17°sin 13°＝sin（17°＋13°）＝sin 30°＝，所以A错误；对于B，cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos（75°－15°）＝cos 60°＝，所以B正确；对于C，当α＝，β＝时，sin（α＋β）＝sin＝sin ＝1，sin α＋sin β＝sin ＋sin ＝＋＞1，所以sin（α＋β）＜sin α＋sin β，所以sin（α＋β）＜s