第八章 专题3 辅助角公式及应用（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

专题3　辅助角公式及应用 　　辅助角公式的应用在考试中经常出现.三角函数问题一般都是先利用辅助角公式asin ωx＋bcos ωx＝·sin（ωx＋φ）化简成Asin（ωx＋φ）的形式，再求函数的性质等等.在应用过程中应理解φ的含义，sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝. 题型一　利用辅助角公式化简 [例1]　化简：3sin＋3cos. [解]　原式＝3 ＝6 ＝6sin＝6sin. 　　利用辅助角公式化简三角函数式需要把三角函数式展开或变形，利用asin x＋bcos x＝sin（x＋φ）化简. 题型二　利用辅助角公式求值域 [例2]　已知函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x，当x∈时，f（x）的值域为　　　　.  [解析]　f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， 若x∈，则2x＋∈，则－≤sin≤1， 所以－1≤2sin≤2，即f（x）的值域为[－1，2]. [答案]　[－1，2] 　　求三角函数的最值需要利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ） ＋B的形式，然后利用x的取值范围求函数的值域. 题型三　辅助角公式asin x＋bcos x＝ 　　　 sin（x＋φ）中φ的含义 [例3]　（1）已知函数f（x）＝sin 2x＋mcos 2x，若f（x）的图象关于x＝对称，求m的值. [解]　方法一：f（x）＝sin 2x＋mcos 2x＝·sin（2x＋φ）， 其中sin φ＝，cos φ＝，∴tan φ＝m. 又∵f（x）关于x＝对称，∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z， ∴tan φ＝tan＝1，∴m＝1. 方法二：∵f（x）关于x＝对称，∴当x＝时，f（x）最大或最小. 又f（x）＝sin 2x＋mcos 2x＝sin（2x＋φ）， ∴f＝±， ∴sin＋mcos＝±， 即（1＋m）＝±，平方有（1＋m）2＝1＋m2，得m2－2m＋1＝0， ∴（m－1）2＝0，∴m＝1. （2）已知f（x）＝5sin x－12cos x，若x0为f（x）的最小值点，求cos x0. [解]　　f（x）＝5sin x－12cos x＝sin（x＋φ）＝13sin（x＋φ）. 其中sin φ＝－，cos φ＝，依题意，得x0＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， ∴x0＝－φ－＋2kπ，k∈Z， ∴cos x0＝cos＝cos＝cos＝－sin φ＝. 　　辅助角公式asin x＋bcos x＝sin（x＋φ）中，sin φ＝，cos φ＝. 题型四　向量与辅助角公式的综合应用 [例4]　已知a＝，b＝，且f（x）＝a·b. （1）求f（x）的单调递减区间； （2）当x∈时，求f（x）的最大值和最小值. [解]　f（x）＝a·b＝3sin－3cos ＝6＝6sin＝6sin. （1）令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z. （2）∵x∈，∴2x－∈. 当2x－＝－，即x＝－时，f（x）min＝－6； 当2x－＝，即x＝时， f（x）max＝6sin＝3. 　　与向量综合的三角函数问题，主要需利用数量积运算或向量的共线定理转化为三角恒等式，作为条件进行计算. 学科网（北京）股份有限公司 $