第八章 专题2 向量数量积的综合应用（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

专题2　向量数量积的综合应用 　　（1）求两个向量的数量积的主要方法有①利用定义：a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a·b＞；②利用向量的坐标运算：a·b＝x1x2＋y1y2；③利用数量积的几何意义：a在b方向上投影的数量与｜b｜的乘积即为向量a与b的数量积；④选取已知模与夹角的基向量e1，e2，用e1与e2表示向量a与b，运用数量积的运算律化简、运算. 　　（2）求向量模的最值（取值范围）的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合图形求解. 题型一　基底法或坐标法求向量的数量积 [例1]　（1）已知半径为R的圆O内有一条长度为2的弦AB，则·＝ 　　　　.  [解析]　如图，设M为弦AB的中点，连接OM，则OM⊥AB ， 故·＝（＋）·＝·＋·＝·＝1×2×cos 180°＝－2. [答案]　－2 （2）在△ABC 中，·＝0，｜｜＝3，｜｜＝4，O为△ABC的重心，D在边BC上，且AD⊥BC， 则·＝　　　　.  [解析]　因为O为△ABC的重心，所以 ＝（＋）. 因为·＝0，所以AB⊥AC，则｜BC｜＝＝5. 因为AD⊥BC，所以S△ABC＝｜AB｜·｜AC｜＝｜AD｜·｜BC｜， 即×3×4＝｜AD｜×5，所以｜AD｜＝. 在Rt△ADB中，｜DB｜＝＝ ＝. 方法一：因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋， 所以·＝·＝＝. 方法二：以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系， 则＝（4，0），＝（0，3） . 由方法一可知＝＋＝， ＝＝， 所以·＝×＋×1＝. [答案] 　 　　数量积运算的两种方法： （1）利用基底法计算；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标法计算. 题型二　向量的数量积、模及夹角的最值问题 [例2]　已知a，b 满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若向量c满足｜a＋b－2c｜＝1，则｜c｜的取值范围是 （　　） A. B. C. D. [解析]　∵a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，∴设a＝（1，0），b＝（0，2），c＝（x，y）， ∴a＋b－2c＝（1，0）＋（0，2）－2（x，y）＝（1－2x，2－2y）. ∵｜a＋b－2c｜＝1，∴ （1－2x）2＋（2－2y）2＝1， ∴＋（y－1）2＝，表示圆心为C，半径为的圆， ∴｜OC｜＝＝.∵｜c｜＝，表示圆C上的点到原点的距离， ∴≤｜c｜＝≤，∴｜c｜的取值范围是 . [答案]　C 　　解答本题时，由题意可知a，b互相垂直，设出a，b，c，根据题意可知c的终点在圆上运动，通过数形结合即可求出｜c｜的取值范围. 题型三　数量积的综合应用 [例3]　（1）设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若（－）·（＋）＝（－）·（＋）＝（－）·（＋）＝0，则O为△ABC的 （　　） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 [解析]　由题意得·（＋）＝·（＋）＝·（＋）＝0， 即（－）·（＋）＝（－）·（＋）＝（－）·（＋）＝0， 即｜｜2＝｜｜2＝｜｜2，则｜｜＝｜｜＝｜｜，故O为△ABC的外心.故选B. [答案]　B （2）已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且｜｜＝｜｜＝｜｜，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的 （　　） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 [解析]　∵｜｜＝｜｜＝｜｜，∴O是△ABC的外心， ∵＋＋＝0，∴＋＝－.取AB的中点D. ∴＋＝2＝－，∴C，N，D三点共线，且2＝－，∴N是△ABC的重心； ∵·＝·＝·， ∴（－）·＝0，即·＝0， ∴PB⊥CA，同理，PC⊥AB，PA⊥BC，∴P是△ABC的垂心. [答案]　C 　　解决三角形的“四心”，需要根据向量的线性运算，把条件转化为三角形的边之间的关系进行判断. 学科网（北京）股份有限公司 $