8.2.4 三角恒等变换的应用（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

8.2.4　三角恒等变换的应用 [学习任务] 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想. 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 3.掌握和差化积、积化和差公式的结构特征. [对应学生用书第72页] 知识点一　半角公式 　（1）：sin ＝　±　，sin2＝； （2）：cos ＝　±　，cos2＝； （3）：tan ＝　±　（无理形式），tan2＝； tan ＝＝（有理形式）. [思考]　半角公式中的符号是如何确定的？ [提示]　（1）当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号. （2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号. 知识点二　积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 （1）cos αcos β＝　[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　； （2）sin αsin β＝　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　； （3）sin αcos β＝　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　； （4）cos αsin β＝　[sin（α＋β）－sin（α－β）]　. 2.和差化积公式 （1）cos x＋cos y＝　2coscos　； （2）cos x－cos y＝－2sinsin； （3）sin x＋sin y＝2sincos； （4）sin x－sin y＝2cossin. 1.sin 37.5°cos 7.5°＝ （　　） A. B. C. D. 解析　sin 37.5°cos 7.5°＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）]＝（sin 45°＋sin 30°）＝. 答案　C 2.已知α－β＝，cos α＋cos β＝，则cos ＝　　　　.  解析　∵α－β＝，∴cos α＋cos β＝2cos cos ＝2cos cos ＝，∴cos ＝. 答案　 [对应学生用书第72页] 探究一　利用半角公式求值 [例1]　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值. [解]　∵π＜α＜，sin α＝－， ∴cos α＝－，且＜＜， ∴sin ＝ ＝，cos ＝－ ＝－，tan ＝＝－2. 　　已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： （1）先化简已知或所求式子； （2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）； （3）将已知条件代入所求式子，化简求值. 1.若tan α＝2，π＜α＜，则cos 等于 （　　） A.－ B. C.－ D. 解析　因为tan α＝＝2，sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.又π＜α＜，所以cos α＝－，＜＜，所以cos ＝－ ＝ －＝－. 答案　C 2.若cos θ＝－，θ是第三象限的角，则＝ （　　） A. B.－ C. D.－2 解析　因为θ为第三象限角，所以可能为第二、四象限角，所以tan ＝－ ＝－ ＝－3， 所以＝＝－2. 答案　D 探究二　积化和差与和差化积公式的应用 [例2]　（1）求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. （2）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin（α＋β）的值. [解]　（1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝（sin 90°－sin 50°）－（cos 60°－cos 40°）＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝. （2）∵cos α－cos β＝，∴－2sin sin ＝. ① 又sin α－sin β＝－，∴2cos sin ＝－. ② ∵sin ≠0，∴由①②，得－tan ＝－， 即tan ＝. ∴sin（α＋β）＝＝＝＝. 　　在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系. 3.对任意x，y∈R，恒有sin x＋cos y＝2sincos，则sincos等于 （　　） A. B. C. D. 解析　由方程组解得 ∴sincos＝ ＝＝. 答案　B 4.＝　　　　.  解析　原式＝＝tan 30°＝. 答案　 探究三　利用三角恒等变换证明三角恒等式 [例3]　证明： （1）sin θ（1＋cos 2θ）＝sin 2θcos θ； （2）＝. [证明]　（1）左边＝sin θ2cos2θ＝（2sin θcos θ）cos θ＝sin 2θcos θ＝右边，∴原等式成立. （2）右边＝，分子、分母同除以cos αcos β，得右边＝＝左边， ∴原等式成立. 盘点三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简. （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的