8.2.3 倍角公式（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

8.2.3　倍角公式 [学习任务] 1.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用. [对应学生用书第69页] 知识点　倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝　2sin αcos α　 S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝　2cos2α－1　＝　1－2sin2α　 C2α 正切 tan 2α＝ T2α 　　以上这些公式都叫作倍角公式，倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系. 2.倍角公式的常用变形 （1）倍角公式的逆用 S2α：2sin αcos α＝sin 2α， sin α＝，cos α＝. C2α：cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos 2α. T2α：＝tan 2α， 2tan α＝tan 2α（1－tan2α）. （2）升幂公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）降幂公式 sin2α＝. cos2α＝. 1.已知cos α＝，则cos 2α＝ （　　） A. B. C.－ D.－ 解析　由余弦的二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝－. 答案　C 2.2sin 30°cos 30°的值为 （　　） A.2 B. C. D. 解析　2sin 30°cos 30°＝sin 60°＝，故选B. 答案　B 3.已知tan α＝－，则tan 2α＝ （　　） A.－ B. C.－2 D.2 解析　因为tan α＝－，所以tan 2α＝＝2. 答案　D [对应学生用书第70页] 探究一　化简求值 [例1]　求下列各式的值： （1）sin cos ； （2）1－2sin2750°； （3）； （4）－； （5）cos 20°cos 40°cos 80°. [解]　（1）原式＝＝＝. （2）原式＝cos（2×750°）＝cos 1 500°＝cos（4×360°＋60°）＝cos 60°＝. （3）原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°－60°）＝－tan 60°＝－. （4）原式＝＝ ＝＝＝4. （5）原式＝ ＝ ＝＝＝. 应用二倍角公式化简求值的三个关注点 （1）当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值. （2）当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角. （3）对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围. 1.（多选）下列各式中，值为的是 （　　） A.sin 15°cos 15° B.cos2－sin2 C. D. 解析　因为sin 15°cos 15°＝sin 30°＝×＝，所以A不正确；因为cos2－sin2＝cos ＝，所以B不正确；因为＝×＝tan 60°＝，所以C正确；因为 ＝ ＝，所以D正确. 答案　CD 2.化简：＝ （　　） A.1 B.2 C. D.－1 解析　＝＝＝2.故选B. 答案　B 探究二　条件求值 [例2]　（1）已知cos＝，≤α＜，求cos的值. （2）已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. [解]　（1）∵≤α＜，∴≤α＋＜. ∵cos＞0，∴＜α＋＜. ∴sin＝－ ＝－ ＝－.∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－， sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝. ∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－. （2）∵sin 2α＝－cos＝－， sin＝－sin＝－cos＝－cos， ∴原方程可化为1－2cos2＝－cos， 解得cos＝1或cos＝－. ∵α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝. 解决条件求值问题的方法 条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 3.已知α是第二象限的角，tan（π＋α）＝－，则cos 2α＝ （　　） A. B.－ C.－ D. 解析　∵tan（π＋α）＝tan α＝－， ∴cos 2α＝＝＝＝. 答案　A 4.若tan＝－，则tan 2α＝ （　　） A.－ B.－ C. D. 解析　∵tan＝－， ∴＝－，可得tan α＝3， ∴tan 2α＝＝－. 答案　A 5.已知sin＝，则sin的值为 （　　） A. B. C.－ D.－ 解析　因为cos＝1－2sin2＝， 所以sin＝－cos＝－，故选D. 答案　D 探究三　倍角公式的综合应用 [例3]　已知函数f（x）＝sin xcos x＋