8.2.2 第2课时 两角和与差的正切（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

第2课时　两角和与差的正切 [学习任务] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. [对应学生用书第66页] 知识点　两角和与差的正切公式 1.两角和与差的正切公式 名称 简记 符号 公式 使用条件 两角和的 正切公式 Tα＋β tan（α＋β）＝ 　　 α，β，α＋β，α－β≠kπ＋（k∈Z）且tan αtan β≠±1 两角差的 正切公式 Tα－β tan（α－β）＝ 　　 2.两角和与差的正切公式的变形 （1）Tα＋β的变形： tan α＋tan β＝　tan（α＋β）（1－tan αtan β）　.  tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝　tan（α＋β）　. tan αtan β＝　1－　. （2）Tα－β的变形： tan α－tan β＝　tan（α－β）（1＋tan αtan β）　.  tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β）＝　tan（α－β）　. tan αtan β＝　－1　. 1.若tan α＝，tan β＝，则tan（α＋β）＝ （　　） A.－1 B.1 C.－ D. 解析　tan（α＋β）＝＝＝＝1，故选B. 答案　B 2.已知cos α＝－，α∈，则tan的值为 （　　） A.7 B.－7 C. D.－ 解析　因为cos α＝－，α∈，所以sin α＝＝，tan α＝＝－，则tan＝＝7. 答案　A [对应学生用书第66页] 探究一　化简求值问题 [例1]　求值： （1）； （2）tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°； （3）（1＋tan 18°）（1＋tan 27°）. [解]　（1）＝＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝. （2）由tan（α＋β）＝的变形 tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）得 tan 10°＋tan 35°＝tan 45°（1－tan 10°tan 35°） ＝1－tan 10°tan 35°， 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. （3）（1＋tan 18°）（1＋tan 27°）＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°（1－tan 18°tan 27°）＋tan 18°tan 27°＝2. 利用公式Tα±β化简求值的两点说明 （1）分析式子结构，正确选用公式形式 Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简（求值）式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. （2）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用 当所要化简（求值）的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 1.＝ （　　） A.－ B. C. D.－ 解析　＝tan（10°＋20°）＝tan 30°＝. 答案　B 2.（2022·南京高一月考）tan 12°＋tan 18°＋tan 12°·tan 18°的值是 （　　） A. B. C.0 D.1 解析　tan 12°＋tan 18°＋tan 12°tan 18° ＝（tan 12°＋tan 18°）＋tan 12°tan 18° ＝tan（12°＋18°）（1－tan 12°tan 18°）＋tan 12°tan 18° ＝×（1－tan 12°·tan 18°）＋tan 12°·tan 18°＝1. 答案　D 探究二　条件求值问题 [例2]　已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan 的值. [解]　由题意，得cos＝－，sin＝－，∴tan＝－，tan＝， ∴tan ＝tan ＝＝＝－. 给值求值问题的两种变换 （1）式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值. （2）角的变换：首先从与已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－（β－α），2α＝（α＋β）＋（α－β）等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值. 3.已知tan＝2，tan β＝3，则tan（α－β）等于 （　　） A.－ B.－ C. D. 解析　因为tan＝2，所以＝2， 即＝2，解得tan α＝.因为tan β＝3， 所以tan（α－β）＝＝＝－. 答案　B 4.已知tan（α＋β）＝，tan＝，则tan的值为 （　　） A.－ B.－ C. D. 解析　tan＝tan＝＝＝. 答