8.2.1 两角和与差的余弦（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

8.2三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 [学习任务] 1.通过探究，了解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. [对应学生用书第61页] 知识点一　两角差的余弦公式 　　对任意α，β，都有cos（α－β）＝　cos αcos β＋sin αsin β　.这就是两角差的余弦公式，通常简记为Cα－β.  判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）对于任意角α，β，总有cos（α－β）＝cos α－cos β. （　×　） （2）存在角α，β，使cos（α＋β）＝cos α＋cos β. （　√　） （3）cos 175°cos 55°＋sin 175°sin 55°＝－. （　√　） 知识点二　两角和的余弦公式 　　在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式Cα＋β. cos（α＋β）＝cos[α－（－β）]＝　cos αcos（－β）＋sin αsin（－β）　＝　cos αcos β－sin αsin β　.  1.cos 75°的值为 （　　） A. B. C.－ D.－ 解析　cos 75°＝cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝×－×＝. 答案　B 2.求值：cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°＝ （　　） A. B. C.－ D.－ 解析　cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°＝cos（45°＋15°）＝cos 60°＝，故选A. 答案　A [对应学生用书第61页] 探究一　给角求值问题 [例1]　（1）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ （　　） A. B. C. D. [解析]　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝（－sin 13°）（－sin 58°）＋cos 13°cos 58°＝cos 13°cos 58°＋sin 13°sin 58°＝cos（58°－13°）＝cos 45°＝. [答案]　B （2）的值是 （　　） A. B. C.1 D. [解析]　＝＝＝，故选A. [答案]　A 解决给角求值问题的策略 （1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形. （2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式. 1.cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝ （　　） A.－ B. C.－ D. 解析　cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°＝cos（40°＋20°）＝cos 60°＝. 答案　B 2.已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝，则cos（α－β）＝　　　　.  解析　由cos α－cos β＝，sin α－sin β＝得到（cos α－cos β）2＝，（sin α－sin β）2＝，所以cos2 α＋cos2 β＋sin2 α＋sin2 β－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝，即2－2cos（α－β）＝⇒cos（α－β）＝. 答案　 探究二　给值求值问题 [例2]　（1）已知0＜β＜α＜，且tan α＝，cos（α－β）＝，则cos（2α－β）＝ （　　） A.－ B.－ C. D. [解析]　因为0＜β＜α＜，且tan α＝，cos（α－β）＝，所以sin α＝，cos α＝，sin（α－β）＝， cos（2α－β）＝cos[α＋（α－β）]＝cos αcos（α－β）－sin αsin（α－β）＝. [答案]　D （2）若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin（α＋β）＝，则cos α＝ （　　） A. B.－ C.－ D. [解析]　因为0＜α＜＜β＜π，所以＜α＋β＜. 又因为cos β＝－，所以sin β＝. 因为sin（α＋β）＝，所以cos（α＋β）＝－， 所以cos α＝cos[（α＋β）－β]＝cos（α＋β）cos β＋sin（α＋β）sin β＝×＋×＝. [答案]　D 给值求值问题的解题策略 （1）从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角. （2）常见角的变换：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）. 3.已知α，β为锐角，角α的终边过点（3，4），cos（α＋β）＝－，