8.1.2 向量数量积的运算律（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

8.1.2　向量数量积的运算律 [学习任务] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. [对应学生用书第52页] 知识点　平面向量数量积的运算律 1.平面向量数量积的运算律 运算律 实数乘法 向量数量积 交换律 ab＝ba a·b＝b·a 结合律 （λa）·b＝a·（λb） （λa）·b＝a·（λb）＝λ（a·b） 分配律 （a＋b）c＝ac＋bc， （a－b）c＝ac－bc （a＋b）·c＝　a·c＋b·c　 （a－b）·c＝　a·c－b·c　 2.平面向量数量积的运算性质 　　类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝　a2＋2a·b＋b2　 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝　a2－2a·b＋b2　 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝　a2－b2　 （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋ 2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋ 2a·b＋2b·c＋2c·a 1.已知向量a和b的夹角为120°，且｜a｜＝2，｜b｜＝5，则（2a－b）·a等于 （　　） A.12 B.8＋ C.4 D.13 解析　（2a－b）·a＝2a2－b·a＝2×4－2×5×＝13，故选D. 答案　D 2.已知单位向量a，b的夹角为60°，ka－b与b垂直，则k的值为 （　　） A.2 B. C. D. 解析　∵ka－b与b垂直，∴（ka－b）·b＝ka·b－b2＝k×1×1×cos 60°－1＝0，解得k＝2. 答案　A [对应学生用书第52页] 探究一　数量积的运算 [例1]　已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，向量a与b的夹角为120°，求： （1）a·b； （2）a2－b2； （3）（2a－b）·（a＋3b）. [解]　（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝2×3×cos 120°＝－3. （2）a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2＝4－9＝－5. （3）（2a－b）·（a＋3b）＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34. 　　求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 1.已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°. （1）计算a·（a＋b）的值； （2）若a·（a－kb）＝0，求实数k的值. 解　（1）a·（a＋b）＝a2＋a·b＝4＋2×4×cos 60°＝8. （2）a·（a－kb）＝0，即a2－ka·b＝4－k×2×4×cos 60°＝4－4k＝0，∴k＝1. 探究二　向量的夹角与垂直问题 [例2]　（1）设a，b是非零向量，满足｜a－b｜＝｜a｜，a·（a－b）＝0，则a－b与b夹角的大小为 （　　） A.45° B.60° C.120° D.135° [解析]　令c＝a－b，则｜c｜＝｜a｜，a·c＝0，则b＝a－c， cos＜a－b，b＞＝cos＜c，a－c＞＝＝＝－，则＜a－b，b＞＝135°. [答案]　D （2）（2022·九江高一月考）已知非零向量a，b满足4｜a｜＝3｜b｜，a与b夹角的余弦值为，若（xa＋b）⊥b，则实数x＝ （　　） A.－4 B.－ C.4 D. [解析]　由4｜a｜＝3｜b｜可设｜b｜＝4t（t＞0），则｜a｜＝3t. 因为（xa＋b）⊥b，所以（xa＋b）·b＝xa·b＋｜b｜2＝x×3t×4t×＋4t×4t＝（4x＋16）t2＝0.又t＞0，所以x＝－4. [答案]　A 求向量夹角的基本步骤及注意事项 （1）步骤： （2）注意事项：在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值. 2.（2022·邯郸开学考试）已知非零向量a与b满足｜a｜＝3｜b｜，且｜a＋2b｜＝2｜a－2b｜，则向量a与b的夹角的余弦值是 （　　） A.－ B. C.－ D. 解析　因为｜a＋2b｜＝2｜a－2b｜， 所以a2＋4a·b＋4b2＝4（a2－4a·b＋4b2）， 所以20a·b＝3a2＋12b2， 所以cos＜a，b＞＝. 又｜a｜＝3｜b｜， 所以cos＜a，b＞＝＝， 所以a与b的夹角的余弦值为. 答案　B 3.若向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝，（2a＋b）⊥b，则a，b的夹角为 （　　） A. B. C. D. 解析　因为（2a＋b）⊥b，所以（2a＋b）·b＝0，即2a·b＋b2＝0.设a，b的夹角为θ，则2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，将｜a｜＝1，｜b｜＝代入可得2cos θ＋（）2