7.4 数学建模活动周期现象的描述（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [学习任务] 1.会用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. [对应学生用书第40页] 知识点　四类周期现象模型 1.潮汐现象模型 　　潮汐现象可以用函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈[0，＋∞），A＞0，ω＞0）来表示. 2.单摆弹簧等简谐振动模型 　　单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y＝Asin（ωx＋φ），其中x表示时间，y表示位移，A表示振幅，表示频率，φ表示初相位. 3.音叉发出的纯音振动模型 　　音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强）. 4.交变电流模型 　　交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin（ωx＋φ），其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位. 1.已知某人的血压满足函数解析式f（t）＝24sin 160πt＋115，其中f（t）为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为 （　　） A.60 B.70 C.80 D.90 解析　由题意得函数的周期为T＝＝，所以频率f＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80. 答案　C 2.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f（t）＝4sin，其中f（t）的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是　　　　m.  解析　由题意，将t＝12代入函数式，有f（12）＝4sin＝4sin＝4sin＝4sin＝2. 答案　2 [对应学生用书第41页] 探究一　由模型图象解决问题 [例1]　某地一天用电量y（单位：万度）随时间x（单位：时）的变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示. （1）写出这段曲线的函数解析式； （2）请问在该天的哪段时间该地用电量不超过35万度？ [解]　（1）由图知所以 又由图象可得半周期为6，ω＝＝， 故y＝10sin＋40. 又当x＝8时，y＝30， ∴sin＝－1，∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又0＜φ＜π，∴φ＝. 故y＝10sin＋40，x∈[0，24]. （2）由10sin＋40≤35， 得sin≤－， 所以－＋2kπ≤x＋≤－＋2kπ，k∈Z. ∵x∈[0，24]，∴≤x＋≤＋4π， ∴≤x＋≤或≤x＋≤， ∴6≤x≤10或18≤x≤22，因此，该天的6～10时和18～22时该地用电量不超过35万度. 　　已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围. 1.如图，某年某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. （1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式； （2）猜测当年3月1日该动物的种群数量. 解　（1）设种群数量y关于时间t的表达式为y＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，b＞0），则解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×（6－0）＝12，∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.又当t＝6时，y＝900， ∴900＝100sin＋800， ∴sin（π＋φ）＝1，∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－， ∴y＝100sin＋800.（答案不唯一） （2）当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，即当年3月1日该动物种群数量约是750. 探究二　由模型解析式解决问题 [例2]　在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示： 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日 日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 存活时间y小时 5.5 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 （1）试选用一个形如y＝Asin（ωx＋φ）＋t的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式； （2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时. [解]　（1）由表格可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， ∴A＝＝7， ∴t＝19.4－7＝12.4.又T＝365，∴ω＝， 当x＝172时，＋φ＝，解得φ＝－， ∴y＝7sin＋12.4. （2）由y＞15.9得sin＞， 即＜x－＜， 解得111.17＜x＜232.83， ∴这种细菌一年