7.3.4 正切函数的性质与图象（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.3.4　正切函数的性质与图象 [学习任务] 1.了解正切函数图象的画法，理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决问题. [对应学生用书第35页] 知识点　正切函数的图象和性质 1.正切函数 　　对于任意一个角x，只要　x≠＋kπ　，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数. 2.函数y＝tan x的图象和性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 　　 值域 　R　 周期 　π　 奇偶性 　奇函数　 单调性 在区间　（k∈Z）　都是增函数 对称中心 （k∈Z） 零点 x＝kπ（k∈Z） 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）函数y＝tan x在其定义域上是增函数. （　×　） （2）函数y＝tan 2x的周期为π. （　×　） （3）正切函数y＝tan x无单调递减区间. （　√　） （4）函数y＝2tan x，x∈的值域是[0，＋∞）. （　√　） [对应学生用书第35页] 探究一　正切函数的定义域和值域 [例1]　求下列函数的定义域和值域： （1）y＝tan； （2）y＝. [解]　（1）由x＋≠kπ＋（k∈Z），得x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为 ，其值域为（－∞，＋∞）. （2）由－tan x≥0，得tan x≤.结合y＝tan x的图象可知，在上，满足tan x≤的角x应满足－＜x≤， 所以函数y＝的定义域为{x︱kπ－＜x≤kπ＋，k∈Z}，其值域为[0，＋∞）. 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解.解形如tan x＞a的不等式的步骤： 1.函数y＝lg（tan 2x）的定义域是 （　　） A.（k∈Z） B.（k∈Z） C.（k∈Z） D.（k∈Z） 解析　由函数y＝lg（tan 2x）有意义得tan 2x＞0，所以kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，所以＜x＜＋，k∈Z，所以函数y＝lg（tan 2x）的定义域是（k∈Z）. 答案　D 2.函数y＝tan，x∈的值域为 （　　） A.（－1，） B. C.（－∞，－1）∪ D.（1，） 解析　因为x∈，所以x－∈.因为y＝tan x在上单调递增，所以tan∈（－1，），即y∈（－1，）. 答案　A 探究二　正切函数的单调性及应用 [例2]　（1）f（x）＝－tan的单调递减区间是 （　　） A.，k∈Z B.（kπ，（k＋1）π），k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z [解析]　令－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z. [答案]　C （2）下列各值中，比tan 大的是 （　　） A.tan B.tan C.tan 35° D.tan（－142°） [解析]　tan ＝tan 36°.对于A，tan＝－tan ＜0，而tan ＞0，故tan＜tan .对于B，tan ＝tan ，∵0＜＜＜，∴tan ＜tan .对于C，∵0°＜35°＜36°＜90°，∴tan 35°＜tan 36°.对于D，tan（－142°）＝tan 38°，∵0°＜36°＜38°＜90°，∴tan 38°＞tan 36°，故选D. [答案]　D （3）若函数y＝tan ωx在（－π，π）上是递增函数，则ω的取值范围是　　　　.  [解析]　由于数y＝tan ωx在（－π，π）上是递增函数，所以ω＞0.由－π＜x＜π，则－ωπ＜ωx＜ωπ， 所以 由于ω＞0，故取k＝0，所以0＜ω≤. [答案]　 　　1.求函数y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法 （1）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，求得x的范围即可. （2）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan（ωx＋φ）转化为y＝Atan[－（－ωx－φ）]＝－Atan（－ωx－φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 （1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. （2）运用单调性比较大小关系. 3.（2022·六盘山高一月考）函数y＝tan的单调递增区间为 （　　） A.（k∈Z） B.（k∈Z） C.（k∈Z） D.（k∈Z） 解析　因为函数y＝tan x的单调递增区间为（k∈Z），所以kπ－＜2x－＜kπ＋（k∈Z），解得－＜x＜＋（k∈Z），所以函数y＝tan的单调递增区间为（k∈Z）. 答案　B 4.比较大小（用“＞”排列