2023届高考数学专题突破：同构法在解析几何中的应用 讲义

同构法在解析几何中的应用 【方法简述】 同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中对称问题、切线问题、平行线截线段成比例问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了． 【典例精析】 一、同构法解决平行线截线段成比例问题 例1.【2022‧湖北省部分重点中学高三第一次联考‧22】 如图所示，已知抛物线的角度为，过的直线交抛物线与两点，在轴左侧且的斜率大于0. (1)当直线斜率为1时，求弦的长； (2)已知为轴上一点，弦过抛物线的焦点，且斜率,若直线分别交抛物线与两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 设， 直线的方程为， 联立得，， 若则，且，于是，从而， 即，，于是， 即，同理 将C坐标代入整理得， ，同理 于是是方程的两根，， 故，. 【点评】同构思想是处理对称问题的有力武器；本题同构思想的介入，使得过程简洁明了，运算简单直接，是很好的解题方法． 二、同构法解决双斜率问题：同构+齐次化处理 例2.【2022‧新高考1卷‧21】 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】(1)将点代入解得，所以双曲线为 双曲线可化为即 设直线的方程为 联立 可得 即 两边同除整理得 其中表示直线与的斜率 由于 所以，直线的斜率为. (2)不妨设直线的斜率，设其倾斜角为 由可知 而，故， 即，解得或 因为双曲线渐近线斜率为，故舍去 因为，故舍去，所以 故 直线的方程为，直线的方程为， 消去得 方程的两根为点的横坐标，所以， 消去得 方程的两根为点的横坐标，所以， 于是， 而由可得 所以. 【点评】本题直线的斜率具有相同的结构，即的形式，于是可考虑构造关于与的二次齐次方程．齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．直接将直线的方程设为，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解法思路奇巧，运算简洁明了．但需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！ 三、同构法解决圆双切线问题 例3.【2022‧荆门市东宝中学高二上期中检测试题‧22】 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为 （1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值． 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）由题意可知外接圆即以为直径的圆，而 ， 故所求方程为，即 圆即， 得：，即直线的方程， 所以直线恒过定点. （2）设直线与的斜率分别为， 与圆相切，所以，即． 所以， 而，， 故 所以面积的最小值为. 【点评】本题圆的两条切线的斜率都满足所以，即，这是同构方程.韦达化使问题轻松得以解决. 【强化练习】 1.已知抛物线过点，点到抛物线焦点的距离与点到轴的距离之比为. (1)求抛物线的方程； (2)直线与直线的交点为，过点作两条相异直线和，其中与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，且点和分别是的中点，记的斜率为和，试问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 2.椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切 (1)求椭圆的方程； (2)如图，过圆上任一点作椭圆的两条切线.求证. 3.如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，是抛物线外一点，连接与抛物线交于两点，且，设的中点分别为. (1)求证轴； (2)若，求面积的最小值. 4.如图所示，已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，在轴的左侧且的斜率大于0. (1)当的斜率为1时，求弦长的值； (2)点在正半轴上，连接与抛物线交于两点，若，且，求的值. 5. 如图，已知抛物线，直线与抛物线交于两点，是抛物线外一点，连接与抛物线交于两点，且. (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，且轴，求的面积. 6.已知实数，且过的的直线与曲线交于两点. (1)设为坐标原点，直线的斜率为，若，求的值； (2)设直线与曲线分别相切于点，点为直线与弦的交点，且，证明为定值. 【答案与解析】 1.【答案】(1) (2)-2 【解析】 (1)设点到轴的距离为，则，即，解得， 所以抛物线方程为. (2)由题意可知，设则 ,同理, 故， 因为点和分别是的中点，所以, 即，即， 又，所以， 从而，整理得， 同理可得， 所以是方程的两根， 故， 所以 所以,为定值. 2.【答案】(1) 【解析】(I)由知，椭圆方程可设为. 又直线与椭圆相切，代入整理后方程满足.由此得. 故椭圆方程为. (II)设. 当时，有一条切线斜率不存在，此时，于是另一条切线平行于轴，故两切线满足. 当时，两条切线的斜率都存在. 设直线的斜率为，则其方程为，即.代入并整理得. 由得. 注意到直线的斜率也适合上述关系，所以的