知识必备03 函数及其图像（公式、定理、结论图表）-【口袋书】2023年中考数学必背知识手册

知识必备03 函数及其图像（公式、定理、结论图表） 考点一、平面直角坐标系 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于； （2）点P(x,y)到y轴的距离等于； （3）点P(x,y)到原点的距离等于. 典例1：（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 　（﹣2023，2022）　． 【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）． 【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1， ∴D1（1，2）， ∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5…… ∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……， 观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2）， ∵2022＝4×505+2， ∴D2022（﹣2023，2022）； 故答案为：（﹣2023，2022）． 【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 考点二、函数及其图象 由函数解析式画其图像的一般步骤： （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 考点三、一次函数 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数， 典例2：（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得． 【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点， ∴点P在直线y＝2上，如图所示， 当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值， 当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值， ∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1， y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1， ∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1． 则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y＝2有助于判断P的位置． 需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法. 典例3：（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动． ①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 　m　（用含有m的代数式表示）； ②当0＜m＜时，S与m的关系式为 　m2　； ③当S＝时，m的值为 　或15﹣2　． 【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可； （2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标； ②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果； ③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可． 【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b， ∴， 解得． ∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9； （2）①由（1）知直线AB的函数表