2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的三角形

中考专题训练——二次函数与特殊的三角形 1.已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值; (3)抛物线的对称轴上有一动点M,当△MAD是等腰三角形时,直接写出M点坐标. 2.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式; (2)在直线AC的上方的抛物线上,有一点P(不与点M重合),使△ACP的面积等于△ACM的面积,请求出点P的坐标; (3)在y轴上是否存在一点Q,使得△QAM为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标:若不存在,请说明理由. 3.如图,在在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标为,点C(0,6)是抛物线与y的交点. (1)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标(A在B的左边); (2)设直线y=h(h为常数,0<h<6)与直线BC交于点D,与y交于点E,与AC交于点F,连AE,定点M的坐标为(﹣2,0). ①求h为何值时,△AEF的面积S最大; ②问:是否存在这样的直线y=h,使△BDM是等腰三角形?若存在,请求出h的值和点D的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图,二次函数y1=x2+bx+c与y2=x2+cx+b(b<c)的图象相交于点A,分别与y轴相交于点C,B,连接AB、AC. (1)过点(1,0)作直线l平行于y轴,判断点A与直线l的位置关系,并说明理由. (2)当A、C两点是二次函数y1=x2+bx+c图象上的对称点时,求b的值. (3)当△ABC是等边三角形时,求点B的坐标. 5.如图①,已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A、,与y轴交于点,直线经过B、C两点. 抛物线的顶点为D. (1)求抛物线和直线的解析式; (2)判断△BCD的形状并说明理由. (3)如图②,若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点,过E点作EF⊥x轴于点F,EF交线段BC于点G,当△ECG是直角三角形时,求点E的坐标. 6.如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(2,0),它的对称轴是直线x=﹣1. (1)直接写出点B,点C的坐标. (2)求这个二次函数的解析式. (3)若点P在x轴上,且△PBC为等腰三角形,请求出线段BC的长并直接写出符合条件的所有点P的坐标. 7.如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合). (1)求抛物线的解析式; (2)求△ABC的面积; (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标. 8.如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O) (1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, ①求证:PF=PR; ②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; ③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断△RSF的形状. 9.已知:如图1,二次函数y=ax2﹣2ax+c(a>0)的图象与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A、B两点,点A的坐标为(4,0). (1)求该抛物线的函数解析式; (2)点P(t,0)是线段OB上一动点(不与O、B重合),点E是线段BC上的点,以点B、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似,连结CP,求△CPE的面积S与t的函数关系式; (3)如图2,若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点Q,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0),则存在这样的直线,使得△ODF为等腰三角形,请直接写出点Q坐标. 10.已知抛物线y=x2 + 1(如图所示). (1)填空:抛物线的顶点坐标是(_,_),对称轴是_; (2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,点M在直线AP上.在平面内是否存在点N,使四边形OAMN为菱形?若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由. 11.如图,把Rt△ACO以O点为中心,逆时针旋转90︒ ,得Rt△BDO,点B坐标为(0,-3),点C坐标为(0,),抛物线y=-x2+bx+c经过点A和点C (1)求b,c的值; (2