2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与相似三角形

中考专题训练——二次函数与相似三角形 1.如图,已知抛物线L:y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)、B(0,4)和F(4,0). (1)求抛物线L的解析式; (2)在图①抛物线L上,求作点C(保留作图痕迹,不写作法),使∠BAC=∠FAC,并求出点C的坐标; (3)在图①中,若点D为抛物线上一动点,过点D作DH⊥x轴于点H,交直线AC于点G,过点C作CK⊥x轴于点K,连接DC,当以点G,C,D为顶点的三角形与△ACK相似时,求点D的坐标. 2.如图,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0),交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P是直线AC上方的抛物线上一点,过点P作于点H,求线段PH长度的最大值. (3)Q为抛物线上的一个动点(不与点A、B、C重合),轴于点M,是否存在点Q,使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由. 3.如图,抛物线y=ax2+bx﹣1经过A(﹣0.5,0),B(﹣4,﹣3)两点,交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式; (2)若点P是抛物线对称轴上一动点,求使得PA+PC最小时P点的坐标; (3)直线BC交x轴于点D,连结AC,若点P是y轴上一动点,且点P不与点C重合,是否存在点P,使得以P,B,C为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,确定点P的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图,已知抛物线 ( 为常数)经过点 ,与 轴相 交于点 、(点 在点 的右侧). (1)求抛物线的解析式和点 的坐标; (2)将直线 向下平移 ( )个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 ,求点 的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 、,在 正半轴上是否存在点 ,使以 、、 为顶点的三角形与 相似.若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 5.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C(0,3).该抛物线与直线y=相交于C,D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M,N. (1)求该抛物线所对应的函数解析式; (2)连结PC,PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由; (3)连结PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由. 6.如图,已知抛物线y=ax2-4x+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0),B两点,与y轴交于点C (1)求抛物线解析式; (2)若点P为抛物线上点,当PB=PC时,求点P坐标; (3)若点M为线段BC上点(不含端点),且△MAB与△ABC相似,求点M坐标. 7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在x轴的负半轴上,顶点B在y轴的负半轴上,边AC交y轴的正半轴于点E,抛物线y=ax2+bx﹣4经过点B,且与直线AB只有一个公共点,点D是抛物线与x轴正半轴的交点.已知∠BAC=90°,AB=AC,点A的坐标为(﹣2,0),点D的坐标为(3,0). (1)求此抛物线的表达式; (2)若P是抛物线上的一点,使得锐角∠PBE<∠ABE,求点P的横坐标xp的取值范围; (3)将△ABC沿BC所在直线进行翻折,使点A落在点F处,过点F作x轴的垂线,交直线AC于点M,将抛物线沿其对称轴向下平移,使抛物线与线段AM总有两个公共点,则抛物线向下最多可平移多少个单位长度? 8.如图,抛物线的顶点为P(1,4),且与y轴交于C(0,3),与x轴交于点A、B,过点P作直线PD∥x轴,交y轴于点D. (1)求抛物线的对应函数表达式; (2)在抛物线上取一点M,过点M作直线PD的垂线,垂足为N,使得以P、M、N为顶点的三角形与△PBC相似,求出点M的坐标; (3)在直线PB上是否存在一点Q,使得∠PQC=2∠PBC?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 9.如图,抛物线C1:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D,顶点为M,另一条抛物线C2与x轴也交于A、B两点,且与y轴的交点是C(0,),顶点是N. (1)求A,B两点的坐标. (2)求抛物线C2的函数表达式. (3)是否存在m,使得△OBD与△OBC相似?若存在,请求出m的值;若不存在请说明理由. 10.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+8与x轴相交于点A(﹣2,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C,顶点为点P.点D(0,4)在OC上,联结BC、BD. (1)求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标; (2)点E为第一象限内抛物线上一点,如果△COE与△BCD的面积相等,求