4.2.3等差数列的前n项和(3)课件-2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

4.2.3 等差数列的前n项和(3) 活动方案 活动一 等差数列的通项公式和前n项和公式的简单实际应用 4 5 活动二 掌握等差数列的综合实际应用 7 8 检测反馈 例1　某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？ 【解析】 由题意，得d＝2，n＝20，a20＝60， 所以a1＝60－19×2＝22， 所以S20＝eq \f(20×22＋60,2)＝820. 故这个剧场共有820个座位． 例2　某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为120 mm，已知卫生纸的厚度为0.1 mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米？(精确到1m，各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离) 【解析】 由题意可知，由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15，…，59.95， 所以各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π， 所以59.95＝20.05＋0.1(n－1)，解得n＝400， 所以S＝400×40.1π＋eq \f(400×399,2)×0.2π＝32 000π(mm)≈100(m)． 故满盘时卫生纸的总长度大约是100 m. 求解数列应用题的一般步骤： (1) 找出规律是否为等差数列； (2) 巧用性质减少运算量. 例3　教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税，教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生. 假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰. (1) 欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？ (2) 零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？(精确到1元) (注：教育储蓄存款总额不超过2万元) 【解析】 (1) 设每月存入A元，则 A(1＋2.1‰)＋A(1＋2×2.1‰)＋…＋A(1＋36×2.1‰)＝20 000， Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋36×2.1‰＋\f(36×35,2)×2.1‰))＝20 000， 解得A≈535. 故每月大约存入535元． (2) 总额不超过2万，所以每月至多存eq \f(20 000,36)≈555(元)， 3年后本息和为555×(1＋2.1‰)＋555×(1＋2×2.1‰)＋…＋555×(1＋36×2.1‰)＝555×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋36×2.1‰＋\f(36×35,2)×2.1‰))≈20 756(元)． 故每月至多存555元，此时3年后本息合计约为20 756元．　　 应用等差数列解决实际问题的一般思路： 1. 中国古代数学名著《周髀算经》中记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为(　　) A. 71 B. 72 C. 89 D. 90 【解析】 设这些老人的年龄形成数列{an}，设最年长者的年龄为a1，则由题意知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋eq \f(19×18,2)×(－1)＝1 520，解得a1＝89. 【答案】 C 2. 某大学毕业生为自主创业，于2019年8月初向银行贷款240 000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少(　　) (注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；1年按12个月计算) A. 18 000元 B. 18 300元 C. 28 300元 D. 36 300元 【解析】 由题意，得该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240 000元，所以两种还款方式的本金没有差额．因为该大学毕业生决定2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，所以从2019年9月初第一次还款到2024年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的，所以按原约定所有还款数额－按现计划的所有还款数额＝原约定还款方式从2024年9月起到最后还完这整60个月所还的利息．因为每月应还本金：240 000÷120＝2 000(元)，2024年8月还完后本金还剩240