4.2.3等差数列的前n项和课件(2)-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

4.2.3 等差数列的前n项和(2) 活动方案 活动一 掌握等差数列前n项和公式的灵活运用 4 5 6 7 活动二 掌握等差数列前n项和的最值问题 9 10 11 12 活动三 探求等差数列前n项和的性质 14 15 16 17 18 19 检测反馈 本课结束 例1　在等差数列{an}中，Sn为前n项和． (1) 已知a3＝1，a5＝11，求an和S8； (2) 已知a2＋a7＋a12＝24，求S13； (3) 已知前4项和为25，最后4项和为63，前n项和为286，求项数n； (4) 已知Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，求Sm＋n. 【解析】 (1) 因为a3＝1，a5＝11， 所以d＝eq \f(a5－a3,2)＝eq \f(11－1,2)＝5， 所以a1＝a3－2d＝1－10＝－9， 所以an＝－9＋5(n－1)＝5n－14， S8＝8×(－9)＋eq \f(8×7,2)×5＝68. (2) 因为{an}是等差数列， 所以a1＋a13＝a2＋a12＝2a7， 所以a2＋a7＋a12＝3a7＝24，即a7＝8， 所以a1＋a13＝16， 所以S13＝eq \f(a1＋a13×13,2)＝eq \f(16×13,2)＝104. (3) 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝25， an－3＋an－2＋an－1＋an＝63. 因为{an}是等差数列， 所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， 所以4(a1＋an)＝25＋63＝88， 即a1＋an＝22. 因为Sn＝eq \f(a1＋ann,2)＝286， 所以n＝26. (4) 设Sn＝An2＋Bn， 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Am2＋Bm＝n，,An2＋Bn＝m，)) eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(①,②)) ①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m. 因为m≠n，所以(m＋n)A＋B＝－1， 所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)． 在等差数列{an}的五个变量中，a1，n，d，an，Sn，可知三求二．若已知an，优先选用Sn＝eq \f(na1＋an,2)；若已知d，优先选用Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，同时在解题的过程中注意等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq的应用. 例2　在等差数列{an}中，a1＝50，d＝－eq \f(3,5). (1) 从第几项开始有an＜0? (2) 求Sn的最大值． 【解析】 (1) 因为a1＝50，d＝－eq \f(3,5)， 所以an＝50＋(n－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))). 令an<0，得50＋(n－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))<0， 解得n>eq \f(253,3)＝84eq \f(1,3). 因为n∈N*，所以从第85项开始有an<0. (2) 由(1)知从第85项开始有an<0， 所以Sn的最大值为S84. 因为a1＝50，d＝－eq \f(3,5)， 所以S84＝84×50－eq \f(3,5)×eq \f(84×83,2)＝2 108.4. 求Sn最值的常用方法： (1) 函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方法或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n是正整数； (2) 邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm. 　(1) 在等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值； (2) 在等差数列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值． 【解析】 (1) 因为a1＝13，S3＝S11， 所以3a1＋eq \f(3×2,2)d＝11a1＋eq \f(11×10,2)d， 所以d＝－2， 所以Sn＝13n＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49， 所以当n＝7时，Sn取得最大值49. (2) 因为d>0，所以－a3＝a9，所以a1＝－5d. 因为Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2－\f(121,4)