广东省深圳市龙华区2021-2022学年高二上学期期末学业质量监测数学试卷

保密★启用前 试卷类型：A 龙华区中小学2021-2022学年第一学期期末学业质量监测试卷 高二数学 说明： 1．本试卷共4页，22小题，满分150分．测试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的条形码贴写在答题卡上． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案． 4．非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是 A． B． C． D． 2．已知空间中两点，，则 A． B． C． D． 3．各项为正的等比数列中，，，则的前项和 A． B． C． D． 4．圆与圆的位置关系是 A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 ( · 哈雷彗星 太阳 )5．如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，已知哈雷彗星离太阳最近的距离为，最远的距离为．若太阳的半径忽略不计，则该椭圆轨迹的离心率约为 A． B． C． D． 6．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为 A． B． C． D． 7．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为 A． B． C． D． 8．如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，若，，，则截面与底面所成二面角的余弦值是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．当取一定实数值时，方程可以表示为 A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线 10．在正方体中，若，，，则下列正确的是 A． B． C． D． 11．年，意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列，其递推公式可以表示为，（），则下列结论正确的是 A． B． C． D． 12．城市的很多街道都呈平行垂直状，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．仿此，如图，平面直角坐标系上任意不重合两点，，线段的中点为，中垂线为．定义，间的折线距离．若满足，则下列说法正确的是 A．无论，位置如何，都满足的条件 B．当或时，可取上任一点 C．当直线的斜率为时，可取上任一点 D．当直线斜率存在且不为时，均可取上任一点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．经过点且与直线平行的直线方程是　　　　． 14．已知曲线（）与抛物线的准线相切，则　　　　． 15．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则　　　　． 16．在平面直角坐标系中，满足的点构成一个圆，经过点且与之相切的直线方程是　　　　；类似地，在空间直角坐标系中，满足的点构成的空间几何体是一个球，则经过点且与之相切的平面方程是　　　　． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分） ( · · · )如图，在平面直角坐标系上，有点，，． （1）证明：是直角三角形． （2）求的外接圆方程． 18．（12分） 已知等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若的前项和为，求的最大值． 19．（12分） 已知为椭圆（）上一点，，是的焦点，． （1）若，求椭圆的离心率； （2）若点的坐标为，求椭圆的标准方程． 20．（12分） 截至年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为万辆．若此后该市每年新增普通汽车万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的％，其它情况视为不计． （1）设从年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列，试写出与的一个递推公式，并求年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）； （2）根据（1）中与的递推公式，证明数列是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于万辆？（参考数据：，，，） 21．（12分） 如图1，边长为的菱形中，，，，分别是，，的中点．现沿对角线折起，使得平面平面，连接，如图2． （1）求； （2）若过，，三点的平面交于点，求四棱锥的体积． ( 图1 ) ( 图2 ) 22．（12分） 在平面直角坐标系中，直线与抛物线（）交于点、．设直线、的斜率分别为、． （1）若直线经过抛物线的焦点，证明：． （2）若（为常数），直线是否经过某个定点？若经过，求出这个定点