8.2.2 非线性回归模型 教学设计——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

《非线性回归模型》教学设计 一、复习回顾 问题1 如何求经验回归方程? 提示:求经验回归方程的一般步骤如下: (1)画出散点图,依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点,观察点的分布是否呈条状分布,即是否在一条直线附近,从而判断两变量是否具有线性相关关系; (2)当两变量具有线性相关关系时,求系数的最小二乘估计,写出经验回归方程; (3)进行残差分析,分析模型的拟合效果,不合适时,分析错因,予以纠正. 师生互动:教师让学生举手回答问题,并及时给予纠正. 设计意图:复习上节课所学知识,为本节课解决与线性回归分析有关的实际问题做好铺垫. 二、新知探究 1.线性回归分析 探究1 经验表明,一般树的胸径(树的主干在地面以上处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表所示,试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 分析:因为要由胸径预测树高,所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点,进而得到散点图,再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关.如果是,再利用最小二乘估计公式计算出即可. 解:以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图如下: 在上图中,散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近,表明两个变量线性相关,并且是正相关,因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系. 用表示胸径,表示树高,根据最小二乘法,计算可得经验回归方程为. 相应的经验回归直线如图所示. 思考:上述例子中,是否可以根据所求经验回归方程,由胸径预测树高? 提示:根据经验回归方程,由题表中胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差,如下表所示. 以胸径为横坐标,残差为纵坐标,作残差图,得到下图. 观察残差表和残差图,可以看到,残差的绝对值最大是0.8,所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系,我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高. 师生互动:教师让学生总结建立线性回归模型的一般步骤. 建立线性回归模型的基本步骤: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是响应变量. (2)画出解释变量与响应变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等). (3)由经验确定回归方程的类型. (4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数. (5)得出结果后分析残差图是否有异常. 设计意图:掌握利用线性回归分析解决实际问题的方法和步骤. 2.非线性回归分析 探究点2 一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)有关.现收集了7组观测数据列于下表中: 试画出散点图分析温度与产卵数的关系. 师:观察散点图,两变量温度与产卵数是否具有线性相关关系? 生:温度与产卵数虽然有正相关关系,但散点图并不是分布在某条直线附近,两者不具有线性相关关系. 师:根据散点图,你能大胆猜测对应散点类似在哪种函数图象的附近吗? 生:曲线类似于指数函数变换后的图象. 师:借助图形计算器的回归功能我们可以进行指数回归的拟合. 师:指数回归的原理是什么? 生:假定所求曲线是,那么这并不是一个线性回归问题,而是一个非线性回归问题.对此式两边取对数,可将等式变换为,取,则有.由表中的数据可得数据,便可把非线性回归问题转化成线性回归问题.从而可由回归系数公式计算出的值. 设计意图:引出非线性回归分析问题,理解解决非线性回归分析问题的思路. 探究点3 人们常将男子短跑的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据,建立男子短跑世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 师:以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图如下图所示.由散点图可以看出,散点看上去大致分布在一条直线附近,似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.现在用表示男子短跑的世界纪录,表示纪录产生的年份,你能利用一元线性回归模型求经验回归方程吗? 生:根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为: .① 师:在散点图中画出经验回归直线,你能看出其中存在的问题吗? 生:得到下图: 第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线,并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方,中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 设计意图:目的是使学生明白,不是所有的两个变量的关系都适合用一元线性回归模型刻画. 师:这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围,而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律,即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 师:你能对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征吗? 生:仔细观察散点图,可以发现散点更趋向于落在