专题4 第2讲 圆锥曲线的方程与性质-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（新教材）

切线七的方程为y计号-员（十1D即7一24）25=0国 所以OA⊥OB, 还有一条公切线。与直线1：y=青7垂直，设公切线么的方 所以OA.OB=1十y=0, 即12十(-x1一b)(-2-b)=0, 程为y=一 3 -x十t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1， 即21x2十b(x1十x2)十2=0， 所以2+6b+4+b(-b-2)+2=0, 所以1= ,解得1=或1=-号（含 解得b=一2，易知圆C的圆心为(1,3)，半径为√6，故圆心到 (- 3 +(-1)2 直线r十y一2=0的距离为d=1+3-2=2,所以1ABl 去)，所以公切线3的方程为y=一 3 5 产x+年，即3x+4)y-5 =2×/6-2=4. =0. 答案：一24 综上，所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3.x十 考法四 4y-5=0. [例4][解析]圆的标准方程为(x一1)2+(y一1)2=1，圆心 光速解根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可 为C(1,1),半径为r=1, 直观快速看出直线x=一1是两圆的一条公切线，经验证符 圆心C(1,1)到直线1：3x-4y+11=0的距离d= 合题意，故可填x=一1. 13-4+11=10=2>r=1, 5 [答案]x=-1或7x-24y-25=0或3x十4y-5=0(注意 √32+42 只需从这三条公切线中挑一条作答即可) 所以圆C与直线1相离. [对点训练]C如图所示.设切点为A,B,则OA⊥AP,OB⊥ 根搭对称性可知，四边形PACB的面积为2S△C=2X号 BP,OA=OB,AP=BP,AP⊥BP,故四边形OAPB为正 方形， X|PAIXr=PAI=PC2-=PCI2-1, 要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC最小. 又PC的最小值为圆心到直线l:3x一4y十11=0的距离d =2. 所以四边形PACB面积的最小值为√PCm-1=√4-I =√5. 则OP|=6,又xn=2,可求得yn=V2,则P(2,V2). 考法三 [例3][解析]当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x [答案]C =0,由 /x=0, [对点训练]ACD设圆(x-5)2+(y {x2+y2-2x-2y-2=0, -5)2=16的圆心为M(5,5),由题易 (x=0,或 x=0, 得 y=1-3y=1+3, 知直线AB的方程为千十多=1，即 所以AB引=2√，符合题意. x+2y-4=0,则圆心M到直线AB的 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx十3， 距离d=5+2X5-4L=>4,所以 5 √5 由已知可得圆的标准方程为(x一1)2十(y一1)2=4，其圆心 直线AB与圆M相离，所以点P到直 为C(1,1),半径r=2, 所以圆心C(1,1)到直线kx一y十3=0的距离d= /125 线AB的距离的最大值为4+d=4+万，4+后<5hV写 1k-1+3=k+2L 5 Vk2+1 √2+1 =10,故A正确.易知点P到直线AB的距离的最小值为d 因为d=2- 2西-4=1，故B不正确.过点B作 圆M的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接MB, 即(k+2)2=k2+1,解得k=- 子所以直线1的方程为y MN,MQ,则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|= 4x+3,即3x+4y-12=0. 3 √MB2-1MN1z=√52+(5-2)2-42=3√2，当∠PBA 最大时，点P与Q重合，PB|=3√2，故C、D都正确.综上， 综上，满足题意的直线1的方程为x=0或3x十4y一12=0. 选A、C、D. [答案]D [对点训练]解析：由/：十尸-2x-6叶4=0， 第2讲圆锥曲线的方程与性质 x+y+b=0, 重要技能拓展] 得2x2+2(b+2)x十2+6b+4=0. 考法一 设A(1),B(x2y2), [例1](1)[解析]由题意知短轴端，点与焦点形成等边三角 x十x2=-b-2, 形，则a=2c,椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即a十c= 由根与系数的关系，得 12=+66+4 +y2 6,则a=4,c=2,b=2尽.则椭圆的标准方程为5十光=1. 2 故选C. 因为∠AOB=90°， [答案]C 179 (2)[解析]因为双曲线C的右焦，点F到渐近线的距离 法二：不妨设渐近线1的方程为y=么，则由MF2∥1知， |FA=b,|OA=a,所以ab=2,又双曲线C的离心率为√5， a 所以√+车-厅，即=，解释心=1，=，所以双内 直线M,的针率为合，方程为y=名(x一)，代入双南线 线C的方花为2-苦-1 方复得点M药横多标=士兰由双南炙的定又知 |MF1|-|MF2|=2a,又|MF1|=2|MF2|,所以|MF|= [答案]D 4a,|MF2|=2a