专题4 第1讲 直线与圆-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（新教材）

设面BB,C1C与面DFE所成的二面角为0， [对点训练]B以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线分别 则sin0=√/1-cos2(n1,n2）, 为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系（图略），则DA1=(2, 故当m=号时，面BB,GC与西DFE所成的二西角的正弦 0,2),DE=(0,2,1),则平面A1DE的一个法向量为n=(2, 1,-2).设M(x,2,),则AM=(x-2,2,z).由AM·n=0, 值景小，为号申当AD=时，面BBGC与面DFE所成 得2(x一2)十2-2z=0→x-z=1,故点M的轨迹为以BC, 的二面角的正弦值最小， BB的中点为端点的线段，长为√2+1？=√2.故选B. [对点训练]解：(I)证明：由PE⊥EB,PE⊥ED,EB∩ED 专题四解析几何 =E, 第1讲直线与圆 所以PE⊥平面EBCD, [重要技能拓展] 因为BCC平面EBCD,所以PE⊥BC, 考法一 又BC⊥BE,PE∩BE=E,所以BC⊥平面PEB, [例1][解]法一因为∥1，所以2∥1，设直线2：x一y 因为EMC平面PEB,所以EM⊥BC, 十m=0(m≠3且m≠一1)， 因为△PEB为等腰三角形，所以EM⊥PB, 因为直线(1,2关于直线1对称，所以与，2与（间的距 又BC∩PB=B,故EM⊥平面PBC, 离相等， 因为EMC平面EMN,故平面EMN⊥平面PBC. 由两平行直线间的距离公式，得3一（一1）1=m-(-1) (2)假设存在点N,使得平面BEN与平面MEN夹角的余弦 2 √2 解得m=-5或m=3(舍去)， 值为以E为原点，成D,亦分别为轴正方向建 所以直线l2的方程为x一y-5=0. 法二因为41∥l,l2∥l,设直线2：x-y十m=0(m≠3且 立空间直角坐标系，如图」 m≠-1)， 在直线41上取一点M(0,3),设点M关于直线（的对称点为 M'(a,b) b3x1=-1, 则有 解得/a=4, 空°告3-1=，1 {61.即M4.-1D. 2 设PE=EB=2,设N(2,m,0),则B(2,0,0),D(0,2,0), 把点M(4,-1)代入直线2的方程，得m=-5, P(0,0,2),C(2,2,0),M1,0,1),EM=(1,0,1),EB=(2,0, 所以直线l2的方程为x一y一5=0. [对点训练]解：如图，设原点关于直x6y=25 0),EN=(2,m,0), 线1的对称点A的坐标为（a,b),由P-4) 直线OA与l垂直且线段OA的中点 (u, 设平面EMN的法向量为p=(x,y,z), 在直线l上，得 Ip·EM=x十x=0, 由 p·EN=2.x+my=0, 2×()-1 令x=m,得p=(m,-2,-m), 易知平面BEVN的一个法向量为n=(0,0,1), <9=25, 8×号+6× 故cp.l=b: 解件侣 .点A的坐标为(4,3). 0+0-m √m2+(-2)2+(-m)2×√0+0+161 ,解得m=1 反射光线的反向延长线过点A(4,3),且反射光线过点 P(一4,3)，两点纵坐标相等. 综上所述，存在，点N,且N为BC的中点时使平面BEV与平 反射光线所在直线的方程为y=3. 面MEV夫角的会获值为吾。 考法二 [例2][解析]通解如图，因为 考法四 圆x2十y2=1的圆心为O(0,0),半 [例4幻[解析]如图，连接B1D1,易知 径n=1,圆(x-3)2+(y-4)2= △BCD1为正三角形，所以BD1= 16的圆心为A(3,4),半径r2=4, C1D1=2.分别取B1C1,BB1,CC1的 所以|OA|=5,r1十2=5，所以 中点M,G,H,连接D1M,DG,D1H, 1OA|=十r2,所以两圆外切，公 7D34561 则易得DG=D1H=√22+1？=√5， 切线有三种情况：①易知公切线 的方程为x=一1，②另一条公切线 D1M⊥BC,且D1M=3.由题意知G,H分别是BB1,CC 2与公切线1关于过两圆圆心的 与球面的交点.在侧面BCCB内任取一点P,使MP=√2， 直线1对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y= 3,由 连接D1P,则D1P=√D1M+MP2=√(3)2+(W2)2=5, x=-1, x=-1, 连接MG,MH,易得MG=MH=√2，故可知以M为圆心，√2 4 4由对称性可知公切线2过点一1， 为半径的圆孤GH为球面与侧面BCC1B,的交线，由 y=3x, |y= 3 ∠B1MG=∠C1MH=45°知∠GMH=90°，所以GH的长为 4 ）,设公切线2的方程为y十3 =k(x十1)，则点O(0, }×2x×= 2 4 [答案]2x 0)到l2的距离为1，所以1= k一3 2 √k2+1 ,解得k=2,所以公 178 切线七的