专题3 第3讲 直线、平面垂直的判定与性质-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（新教材）

（2)设截面与圆锥的侧面的交线为MON，其中O为截面与[对点训练]解：(1)证明：连接A_1C_1，BC_1，因为O_1为B_1D_1 AC的交点，连接OO_1，则OO_1∥AB且OO_1=÷AB，在截面的中点，所以O_1为A_1C_1的中点， 又E为A_1B的中点，所以在△A_1BC_1中，O_1E∥BC_1，而 MON内，以OO_1所在直线为y轴，O为坐标原点，建立平面BC_1⊂平面B_1BCC_1，O_1E∈ 平面B_1BCC_1﹐ 直角坐标系，则О为抛物线的顶点，所以抛物线方程可设为所以O_1E∥平面B_1BCC_1 z^2=-2py(p>0)，则N(r。-r)，代入抛物线方程可得r^2=（2)连接BD，则四边形BB_1D_1D为平行四边形，则BD∥ -2p(-r)，得r=2p，又知l=2r，所以l=4p，所以S圆锥表一B_1D_1，又A_1B⊥B_1D_1，所以A_1B⊥BD， πrl+πr^2=8πp^2+4πp^2=12πp^2． [对点训练]解析：B因为点P到直线BD的距离为\sqrt{3}，所以 空间中到直线BD的距离为\sqrt{3}的点构成一个圆柱面，它和平 面α相交得一椭圆，即点P在α内的轨迹为一个椭圆，B为 椭圆的中心，b=\sqrt{3}，a=sin60^∘=2，则c=1，所以A.C为椭 圆的焦点。因为椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点 取得最大值，所以∠APC的最大值为60°。故选B。 第2讲直线，平面平行的判定与性质 在△A_1AB中，AA_1=4，∠A_1AB=60^∘，AB=2，由余弦定理 可得A_1B=/16+4-2×4×2×÷=2\sqrt{3}，所以AB^2+ [重要技能拓展] 考法一 A_1B^2=A_1A^2，即A_1B⊥AB，而AB∩BD=B，所以A_1B⊥平 [例1][解]（1)证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连面ABCD， 接EM，FN，MN，则四棱柱ABCDA_1B_1C_1D_1的体积为V=2×2×2\sqrt{3}= 8\sqrt{3}． 考法二 [例2][证明]（1)因为G.H分别是A_1B_1，A_1C_1的中点， 所以GH是△A_1B_1C_1的中位线，所以GH∥B_1C_1． A-°M°““B又因为B_1C_1∥BC，所以GH∥BC， ∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8，所以B，C，H，G四点共面． ∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM=FN。（2)因为E，F分别是AB.AC的中点，所以EF∥BC． 又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD，因为EF∈ 平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 平面EAB∩平面ABCD=AB，平面FBC∩平面ABCD=所以EF∥平面BCHG。 BC，EMC平面EAB，FNC平面FBC， 因为A_1G∥EB，且A_1G=EB， ∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，所以四边形A_1EBG是平行四边形， ∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形，所以A_1E/GB。 ∴EF∥MN。因为A_1E∈ 平面BCHG，GBC平面BCHG， 所以A_1E∥平面BCHG。 又MNC平面ABCD，EF∈ 平面ABCD， 因为A_1E∩EF=E，所以平面EFA_1∥平面BCHG。 ∴EF∥平面ABCD。 （2)如图，分别取AD，DC的中点P，Q连接PM，PH，PQ，[对点训练]证明：因为M，N分别是SB，CB的中点，所以 QN，QG，AC，BD。 MN∥SC，又MN∈ 平面SCD，SCC平面SCD，所以MN∥ 由(1)知EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，平面SCD，又AD/CN且AD=CN，所以ADCN为平行四 同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM边形，所以AN∥DC，AN∈ 平面SCD，DC⊂平面SCD，所以 =FN=GQ=HP=4\sqrt{3}，EM∥FN∥GQ∥HP。 AN∥平面SCD，又AN∩MN=N，AN，MN⊂平面AMN， 易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，所以PM⊥MN， 所以平面AMN∥平面SCD。 第3讲ⅳ直线，平面垂直的判定与性质 又PM=QN=MN=PQ=_÷BD=4\sqrt{2}， [重要技能拓展] 所以四边形PMNQ是正方形，考法一 所以四棱柱PMNQHEFG为正四棱柱，[例1][解析]如图，连接BD交AC 所以V_四棱柱PMNQ=HEFG=(4\sqrt{2})^2×4\sqrt{3}=128\sqrt{3}．于O，连接OE，OF。设AB=ED=2FB 因为AC⊥BD，BD∥PM，所以AC⊥PM。=2，则AB=BC=CD=AD=2，FB= 因为EM⊥平面ABCD，ACC平面ABCD，所以EM⊥AC。1.因为ED⊥平面ABCD，FB/ED，所 又EM，PM