“四翼”检测评价(四) 等差数列的性质及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(四) 等差数列的性质及应用 (一)基础落实 1．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则x的值为(　 ) A．5x＋15 B．2x＋1 C．2 D．0 答案：D 2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　 ) A．32 B．－32 C．35 D．－35 解析：选C　由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35. 3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　 ) A．12 B．8 C．6 D．4 解析：选B　由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 4．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　 ) A. B．± C．－ D．－ 解析：选D　由等差数列的性质，得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan＝－. 5．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　 ) A．26 B．29 C．39 D．52 解析：选C　因为5，x，y，z,21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5,21的等差中项，所以x＋z＝2y,5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 6．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为________． 解析：设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 答案：0 7．已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________. 解析：因为数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1，所以a1＋a2m－1＝2am＝2. 答案：2 8．若三个数成等差数列，且它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，则 解得或 ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1，∴这三个数的积为－21. 答案：－21 9．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4. ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d.∴d＝2. ∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 10．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温． 解：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，设公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. (二)综合应用 1．(多选)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N＋)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　 ) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：选ABD　由题意得，插入k(k∈N＋)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…. 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1,3,7. 2．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77