“四翼”检测评价(八) 等比数列的性质及其应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(八) 等比数列的性质及其应用 (一)基础落实 1．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　 ) A. B． C. D． 解析：选C　∵a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝. 2．(多选)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　 ) A．b＝3 B．b＝－3 C．ac＝9 D．ac＝－9 解析：选BC　∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.由等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9. 3．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为(　 ) A. B． C. D．1 解析：选A　由题意得a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1.所以＝＝. 4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　 ) A．10n B．n10 C．100n D．n100 解析：选A　设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n，∴a2·a3·…·an＋1＝10n. 5．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝5，a2a3＝－3，则＋＋＋＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选B　＋＋＋＝＋.∵在等比数列{an}中，a1a4＝a2a3＝－3，所以＋＋＋＝＝－. 6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝____________. 解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 答案：1 536 7．在等比数列{an}中，an>0，a3a4＝4, 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a6的值为________． 解析：由题可得，a1a6＝a2a5＝a3a4＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a6＝log2(a1·a2·…·a6)＝log2(a3a4)3＝log243＝6log22＝6. 答案：6 8．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________． 解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因为b>a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)． 答案： 9．2020年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的存量相等？ (2)问两林场木材的总量到2023年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得， 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2， 故到2021年两林场木材的总存量相等． (2)令n＝5，则a5＝16a4＋25a4<2(16a＋25a)，故到2023年不能翻一番． 10．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p. 解：因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列， 所以当n≥2时，有(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)， 将cn＝2n＋3n代入上式得， [2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]·[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]， 整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0， 解得p＝2或p＝3. (二)综合应用 1．在数列{an}中，“a＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N＋都成立”是“{an}是等比数列”的(　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　易知“{an}是等比数列”能推出“a＝an－1aa＋1对任意n≥2且n∈N＋都成立”，当n≥2时，若an＝an－1＝an＋1＝0，满足a＝an－1an＋1，此时{an}不是等比数列．故“a＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N＋都成立”是“{an}是等比数列”的必要不充分条件． 2．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级．在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为(