专题09 导数压轴解答题（证明类）-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题09 导数压轴解答题（证明类） 导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过十二个题型系统介绍了一些常见的不等式证明的技巧。 一、热点题型归纳 题型1. 直接研究法（作差构造法） 题型2. 满参放缩法 题型3. 放缩法证明法（含切线法） 题型4. 凸凹反转证明法（分解为两个法） 题型5 .同构法 题型6. 泰勒展开式法和拉格朗日中值定理法 题型7. 隐零点（极值点）转移法 题型8. 对数单身狗，指数找朋友 题型9. 极值点（拐点）偏移相关证明 题型10. 利用导数的放缩法证明数列不等式 题型11. 估算法与分段分析法 题型12. 与三角函数相关的不等式证明 2、 最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】直接研究法（作差构造法） 【解题技巧】在导数的解答题中，直接对函数求导，或将等式（不等式）的一侧移项到另一侧，构造函数，求导研究是常规操作，这种处理方法适用于函数不太复杂的情形. 【典例分析】 1.（2022.山西高三模拟）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当，，时，证明：． 【解答】解：（1）函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （2）证明：令， 则，（1）， 再令，则，当时，， ，即，在，上单调递增， （1）（1），（1），在，上单调递增， （1），综上可知，． 【变式演练】 1.（2022.重庆高三期中）设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，证明：． 【解答】解：（1）函数，定义域为，， ①当时，，则在上单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，当，时，， 所以的单调递增区间为，，递减区间为． 综上所述，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，递减区间为． （2）证明：当时，令， 则， 因为，则，所以在上单调递减，故（1）， 则，故． 【题型2】满参放缩法 【解题技巧】当要证明的不等式含参，且规定了参数的范围时，可以考虑先使用满参放缩，将含参的不等式转化为不含参的不等式来证明.这一技巧诸多问题中会反复用到，是一个必备的基本技能， 【典例分析】 1．（2023.山东高三模拟）已知函数．（1）设是的极值点，求函数在，上的最值；（2）若对任意，，且，都有，求的取值范围（3）当时，证明． 【解析】解：（1），是的极值点，，解得：， ，定义域是， ，设，则，在递增， 又，时，，即，时，，即， 在递减，在递增，在，递增， 的最小值是（1），的最大值是（2）； （2）因为对任意，，且，都有，即都有， 故函数在，上单调递增； 在，上恒成立，又因为在，上单调递增， 所以只要即； （3）证明：当，时，，故只需证明当时， 当时，函数在上为增函数，且，， 故在上有唯一实数根，且， 当时，，当，时，，从而当时，取得最小值． 由，得，，故， 综上，当时，． 法二：．，，，故， 令，易证时“”成立）， 故时“”成立）， 故， “ “不同时成立）， 故，成立． 【变式演练】 1.（2023.重庆高三期中）已知函数.（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，. 【解析】（1）由题意，，由题意，，解得：， 此时，当时，，所以， 当时，，所以，故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，，令，则，当时，，，所以..；当时，，，所以， 从而在上单调递减，在上单调递增，故，即， 而，所以当时，. 【反思】当要证明的不等式含参，且题干规定了参数的范围吋，一般可以用满参放缩的方法转化为不含参的不等式来证明. 【题型3】放缩法证明（含切线法） 【解题技巧】 1）对于含有与型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式的合理代换. 2）切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题. 助函数图象上的切线进行放缩，达到证明不等式的目的，放缩得有理有据.在求解导数大题的时候，如果找不到思路，不妨从图形上去寻找解题的线索. 【典例分析】 1.（2022安徽安庆高三联考）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，都有. 【解析】（1），令，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； （2）要证明，即证， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 以.要证，只需再证即可. 易证，当且仅当时取等号（证明略），所以， 综上所述，当时，都有. 【思路点睛】对于含有与型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式的合理代换. 【变