专题08 导数与函数综合压轴（选填题）-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题08 导数与函数综合压轴（选填题） 函数与导数的综合是高考必考的内容,难度较大，大都以压轴题的形式出现，面对这种类型的题目，大部分考生都会很茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这些题目的特点和解题思路。 函数与导数的综合压轴题主要命题方向：嵌套函数、函数零点、恒成立与存在问题（前三个命题方向在前面的专题已讲）、同构、极值点偏移、隐零点、整数解、凹凸函数、特殊距离、极值与最值的含参问题等，重点考查单调性、极值、零点等知识点，解题主要思路是巧妙处理参数((主要有全分离、半分离、不分离三种策略)，然后再讨论一般的情况，有时还需要通讨论时往从特殊的参数导数值但正或恒负开始，路就是借助导散工具得到函数的单调性,进过条件缩小参数的范围降低难度。整体的解题思路是利用单调性结合图象的特征解决问题，而对于双变量问题往往可以放缩为单变量问题处理。 一、热点题型归纳 题型1.函数同构问题 题型2.极值点偏移问题1（韦达定理） 题型3.极值点偏移问题2（比值、差值代换） 题型4.凹凸函数相关问题 题型5.整数解（根）问题 题型6.隐零点问题 题型7.函数中的特殊距离问题 题型8.极值含参问题 题型9.最值含参问题 题型10.不等式放缩问题 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】 函数同构问题 【解题技巧】在某些函数方程、不等式问题中，可以通过等价变形，将方程或不等式变成左右两端结构一致的情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题，这种处理问题的方法叫做同构。同构一般用在方程、不等式、函数零点、反函数等相关问题中，用好同构，需要较强的观察能力和一定的解题经验。 常见同构体：；；；；；。 【典例分析】 1. （2023成都高三月考）已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【分析】，，观察共性，借助共性，构造函数，利用函数单调性解方程. 【解析】由，得，在单调递增，单调递减，且满足. 则在单调递增，当时，. ，，， ，. 于单调递增，单调递减..故选C. 【评析】本题主要考查同构思想，通过恒等变形，构造函数，利用导数研究函数单调性解方程，注意左右代数结构一致，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算. 2．(2022湖南高三期中)若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可. 【解析】由题意可知，不等式变形为. 设，则 . 当时，即在上单调递减. 当时，即在上单调递增. 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点. 所以，即在上单调递增. 若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立. 即对任意，恒有成立，则在恒成立. 设则. 当时，，函数在上单调递增 当时，，函数在上单调递减 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点. 所以，即，则实数的最小值为.故选：D 【评析】本题主要考查同构思想，通过恒等变形，构造函数，利用导数研究函数单调性解不等式，注意左右代数结构一致，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算. 【变式演练】 1．（2022江西高三模拟）已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【分析】先将不等式变形为，令，，由与互为反函数得只需要即可，即，然后用导数求出左边的最小值即可. 【解析】显然，由，得，则令，， 因为与互为反函数，所以只需要即可，即， 令，则，所以可得在上单调递减，在上单调递增， 所以，即.故答案为： 【评析】利用同构思想，观察互为反函数，根据互为反函数的两个函数的图象关于对称. 2．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，. 记，易知在上单调递增，， ，，记，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，，，故选：C. 3.（2022浙江高三联考）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【分析】不等式等价变形，利用同构函数的单调性得解 【详解】 令，，∴在上单调递增.∵，， ∴，∴恒成立， 令，只需，， ∴单调递增，∴单调递减， 时，的最大值为，∴，∴的最小值为.故答案为： 【题型2】极值点偏移问题1 （韦达定理） 【解题技巧】 函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个