专题10 导数压轴解答题（综合类）-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题10 导数压轴解答题（综合类） 导数中的解答类压轴题绕不开的两大永恒问题：不等式的证明和参数范围问题，由于上一专题我们着重讲了不等式的证明，本专题我们重点就相关的参数问题和函数零点等诸多综合性问题作一个系统性的研究，方便大家学习掌握。 一、热点题型归纳 题型1.含参问题之端点效应 题型2.含参问题之分离变量法 题型3.含参问题之分类讨论法 题型4.含参问题之最值定位法 题型5.双变量-转化同构 题型6.双变量-齐次换元法 题型7.同构函数法 题型8.函数零点型问题 题型9.隐零点问题 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】含参问题之端点效应 【解题技巧】 假设题于给出含参不等式在上恒成立，让求参数的取值范围，这类问题俗称含参不等式愝成立问题.若恰好满足，则称该不等式具有端点效应.具有端点效应的含参不等式恒成立问题的一种常用的解题方法是带参讨论，寻找讨论的分界点是解题的关键.既然要恒成立，且，那么在右侧附近函数值不能减少，所以，由此可得到成立的必要条件（不一定是充分条件），从而找到讨论的分界点. 注意 1.端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用） 2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围。注意，开区间不一定是充分条件。有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论。 【典例分析】 1.（2022.河南高三期中）设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，， 所以或， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （2）解法1：令， 则， 所以在上単调递减，， （i）当时，，所以在上恒成立，故在上单调递减， 结合知，即，符合题意， （ii）当时，，设，则且， 因为，所以，从而， 又，所以，故，所以， 因为，所以，从而当时，必有， 所以在上有唯一的零点，且当邛，，故在上单调递增， 又，所以当时，，即，不合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 解法2：令， 则， 所以在上单调递减，， （i）当时，，所以在上恒成立，故在上单调递减， 结合知，即，符合题意， （ii）当时，，所以在上有唯一的零点， 且当时，，所以单调递增， 结合知当时，，即，不合题意， （iii）当时，不能恒成立，不合题意，综上所述，实数的取值范围为. 【变式演练】 1.（2023.广西高三模拟）已知函数为的导数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，，当时，，所以，从而在上单调递增，故的最小值为. （2）当时，成立， 当时，等价于（1）， 当时，等价于（2）， 设，则， 当时，设，则， 当时，由（1）可得，所以在上单调递增，结合知恒成立，所以在上单调递增，又，所以恒成立， 而在上，，从而，满足（1）， 当时，， 易得在上为增函数，， 所以在上有一个零点，当时，；当时，， 从而在上单调递减，在上单调递增，又， 所以在上有一个零点，且当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又， 所以在上恒成立，故在上单调递增， 又，所以在恒成立，从而，满足（2），所以当时，满足题意， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 又， 所以在上有一个零点，且当时，，从而在上单调递减， 又，所以当时，，不满足（1），不合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 2.设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若当时，，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 当时，，当时，，所以的减区间为，增区间为. （2）当时，，设， 则，由（1）可得，所以，故在上单调递增， 又，所以恒成立，从而，符合题意， 当时，，因为，所以， 从而当时，，所以在上单调递减， 而，所以当时，，故在上单调递减， 又，所以当时，，故在上不能恒成立，不合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 【题型2】含参问题之分离变量法 【解题技巧】 1）利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；②求在上的最大（或最小）值；若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”；③解不等式(或) ,得的取值范 2)重要结论 ≥f(x)恒成立⇔≥f(x)max；≤f(x)恒成立⇔≤f(x)min ； ≥f(x)能成立⇔≥f(x)min；≤f(x)能成立⇔≤f(x)max。 3）参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法. （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式