第11讲 三角恒等变换-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第11讲 三角恒等变换 一、课标要求： 三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。 （1）角与弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（参见案例3）。 （2）同角三角函数的基本关系式 理解同角三角函数的基本关系式。 （3）三角恒等变换 ①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。 ②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 ③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。 二、知识梳理 一． 同角三角函数的基本关系式：（用于求值、化简、证明；变形运用、1的代换、齐次化切．） ⑴平方关系：； ⑵商数关系：. ⑶三角完全平方公式：①； ②； ③ 【说明】 ㈠公式中的角可以变换成其他各种形式．求三角函数值时，值的符号要唯一确定，不能唯一确定的要分象限讨论． ㈡知一求二：⑴；⑵；对于⑵，主要手段是平方法，如果要分别求出，联立其中两个解方程组即可；对于⑵，还应该掌握换元法． 二、三角函数的诱导公式（正用、逆用） 1． 九组诱导公式：①纵变；②横不变．【纵变横不变，符号看象限．】 【纵变横不变：看中角的终边在横轴还是纵轴上；符号看象限：象限是指把当锐角时 的象限．】 横不变 纵变 弧度 度 象限 一 二 三 四 四 一 二 三 四 先利用商数关系转化 作用 大化小 负化正 正余弦互化，大化小 终边 关系 上述九个角的终边与角的终边关于轴、轴、原点、直线的对称性你知道吗？ 相同 轴 原点 轴 轴 垂直 垂直 ⑴诱导公式化简原则顺口溜：负化正，大化小；化到锐角才算好．特殊值对特殊角，如果需要再查表． ⑵诱导公式小技巧：利用周期性（）化简； 利用奇偶性（是奇函数，是偶函数）化简． ⑶的诱导公式的变用： 2． 九组诱导公式：纵变横不变，符号看象限．(奇变偶不变，符号看象限：) （1） （2） 三． 两角和与差公式： ①；③； ②；④； ⑤；变形公式：； ⑥；变形公式：． 四． 二倍角公式： 万能公式： ①； ②； ③. 五． 降幂公式：；；． 升幂公式：， ； ， 六． 辅助角公式：，() ①其中辅助角方程在内的解；【提取系数是关键】 ②时要熟练； ③必要时可化为余弦形式． ④显然，．的至于是： 三、查缺补漏 三角函数是中学数学中的一种重要函数，它不但和代数、几何知识联系密切，而且在数学的其他分支中有重要的应用，因此是高考中的中点，高考中对三角函数性质的考查主要是通过三角恒等变换实现的，因此熟悉各公式在恒等变形中的作用，才能在解决三角问题时，合理选择公式，灵活运用公式，提高分析和解决三角问题的能力. 注意一下几个三角恒等变换的常用技巧，以便我们正确，合理，迅速地解题. 一、角的变换技巧 三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角。因此，明确角与角之间的关系，十分重要。哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析。 常见的变角方式有： ；； ；可视为的倍角；可视为的半角等等，应注意变角形式不唯一，应因题而异。 例1. （ ） A. B. C. D. 二.函数名称的变换技巧 三角变化的目的在于“消除差异，化异为同”，而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要化异名函数为同名函数.变换的依据是同角三角函数的关系式和诱导公式，如把正（余）切、正（余）割化为正（余）弦，或化弦为切、割等等.常见的是切割化弦. 所谓切割化弦就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，这样可有利于问题的解决或易于发现解决问题的途径. 化弦为切，如万能变换，可以把含有等的三角函数式，换成只含的式子. 常用公式：，，等. 例2.若，是第三象限角，则=（