第10讲 不等式中的恒成立问题-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第10讲 不等式中的恒成立问题 一、课标要求： 1．相等关系与不等关系 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异,掌握基本不等式。 内容包括：等式与不等式的性质、基本不等式。 （1）等式与不等式的性质 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。 （2）基本不等式 理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。 2．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。 内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。 （1）从函数观点看一元二次方程 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 （2）从函数观点看一元二次不等式 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。 ②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（参见案例1）。 二、知识梳理 1． 结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围． 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若 有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】 ⑴一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． ⑵上述结论也适用于为常数 0，即()没有先行分离出参数时使用！ ⑶取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 2． 分离参数的方法：【常用于求或恒成立、或有解、或无解、或已知函数零点个数命题中的参数取值范围问题．】 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ； ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 ⑴分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． ⑵恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分 离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 ⑶对参数是否可以先适当缩小范围？通常用观察法、反证法就可以说明确认． 3． 设，则： ①若在恒成立，则 ②若在恒成立，则 ③若在上有零点，则； 4． 设，则： ①若在R上恒成立，则或 ②若在R上恒成立，则或 ③若 (或< 0)在集合上恒成立，利用对称轴进行讨论，或考虑用分离参数法． 5． ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 方法二：在无实数解或有解也只能是偶次重根(或说()无极值点)． ④若是区间上的单调函数，则是区间上的单调函数，且（或）恒成立． ⑤若在上存在递增或递减区间，则或在上有解．（或利用不存在去转化．） ⑥在上不是单调函数，则在有解且解不全为偶次重根（或说有极值点）．（或用补集思想解） 6． ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 7． ①，； ②，； ③，； ④，． 【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数． 思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】 8． ①． (①②两种方法的关键都是先确定的值域!) ②． (范围相加!) 9． ①恒成立，可用于解决集合中含参数的问题． ②，使成立，可用于解决集合中含参数的问题． ③还可利用全称命题与特称命题的相互转换及补集思想解决恒成立命题与存在性命题． 10． 含多个参数恒成立问题：逐一处理，并适当注意处理顺序（先易后难）． 11． 已知①不等式恒成立、有解、无解，②方程有解、无解，③函数零点个数，求参数取值范围问题． 解决此类问题的常用方法：分离参数法、含参转化法． 三、查缺补漏 方向一：在不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题 解法突破：在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直