第3部分 专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形（Word教参）- 【状元桥】2023高考数学二轮专题复习（新教材）

第2讲　三角恒等变换与解三角形 题型一　三角恒等变换 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 3．同角三角函数的基本关系式及其变形 (1)sin2α＋cos2α＝1，tan α＝. (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)，(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (3)sin α＝tan αcos α. (4)sin2α＝＝，cos2α＝＝. 1．化简＝(　　) A．1 B． C． D．2 答案　C 解析　原式＝＝＝＝.故选C项． 2．(2021·全国乙)cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos ＝.故选D项． 3．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 答案　C 解析　由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin α·sin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C项． 4．(2021·全国甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由题意得tan 2α＝＝＝，因为α∈，所以cos α≠0，所以＝，解得sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝.故选A项． 5．(2021·新高考Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　 ＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C项． 题型二　解三角形 1．常利用正弦定理解决的两类问题：(1)已知两角及一边；(2)已知两边及其中一边所对的角． 常利用余弦定理解决的两类问题：(1)已知两边和一角；(2)已知三边． 2．利用正、余弦定理解三角形的常用策略 (1)当出现边角混合的式子时，常常根据a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C来统一成边或统一成角． (2)当式子中出现三边的平方和或差时，常常要利用余弦定理解题． (3)当三个内角A，B，C都出现时，根据三角形内角和A＋B＋C＝180°，消掉一个角，留下两个角，然后化简整理；若已知一个角，式子中含有两个角时，结合已知消掉一个角，留下一个角，然后根据和角公式展开，再进一步化简． 3．常用公式和结论 (1)三角形中的三角函数关系：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin ＝cos ，cos ＝sin . (2)用余弦定理判断三角形的形状：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2<0时，A为钝角． 6．(2021·全国乙)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 解析 由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，所以ac＝4，所以a2＋c2＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，解得b＝2(负值舍去)． 答案 2 7．(2020·新高考Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，__________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析 选择条件①：由sin A＝sin B可得＝，不妨设a＝m，b＝m(m>0)，则c2＝a2＋b2－2abcos C＝3m2＋m2－2×m×m×＝m2，即c＝m.由条件ac＝可得ac＝m×m＝m2＝，所以m＝1，此时c＝m＝1. 选择条件②：由sin A＝sin B可得＝，不妨设a＝m，b＝m(m>0)，则c2＝a2＋b2－2abcos C＝3m2＋m2－2×m×m×＝m2，即c＝m.据此可得cos A＝＝＝－，则sin A＝＝，此时csin A＝m×＝3，则c＝m＝