第3部分 专题1 微专题2 数形结合思想在函数零点有关问题中的应用（Word教参）- 【状元桥】2023高考数学二轮专题复习（新教材）

微专题2：数形结合思想在函数零点有关问题中的应用 函数可以用解析式和图象表示，在解决函数零点有关问题时，常常会画出相关函数图象，让问题变得直观清晰． 应用一　解决一般函数零点有关问题 【例1】 若关于x的方程－x＝m有两个不同的实根，求实数m的取值范围． 解析 将方程变形为＝m＋x，引入两个函数f(x)＝，g(x)＝x＋m，在同一直角坐标系中作出f(x)＝(x≥－1)与g(x)＝x＋m(x≥－m)的图象，如图所示． g(x)＝x＋m(x≥－m)表示以(－m,0)为端点位于x轴上方的动射线，f(x)＝(x≥－1)表示由幂函数 y＝向左平移一个单位长度得到的图象．当m＝1时，射线与曲线恰有两个交点；当射线与曲线相切，即方程x＋1＝(m＋x)2只有一个解时，由x2＋(2m－1)x＋m2－1＝0得Δ＝(2m－1)2－4(m2－1)＝0，所以m＝.结合图形得1≤m<.故实数m的取值范围为. 归纳总结　涉及方程根的个数问题一般要用到数形结合．首先要观察，把左右两边变成熟悉且容易画出图象的函数，然后找到临界状态(“形”的功能达成)，再通过运算，计算出临界状态的参数值(这就是“以数辅形”)，最后根据运动变化的过程写出参数范围． 【变式1】 若函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－∞，e) C． D． 答案　B 解析　函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，即e－x－ln(x＋a)＝0在(0，＋∞)上有解，令函数g(x)＝e－x，h(x)＝ln(x＋a)，则e－x－ln(x＋a)＝0在(0，＋∞)上有解即为函数g(x)与函数h(x)在(0，＋∞)上有交点，函数h(x)的图象就是函数k(x)＝ln x的图象向左平移a个单位长度，如图所示，函数k(x)＝ln x向左平移时，当函数图象过点(0,1)之后，与函数g(x)＝e－x没有交点，此时h(0)＝ln(0＋a)＝1，即a＝e，故实数a的取值范围是(－∞，e)．故选B项． 应用二　解决分段函数零点有关问题 【例2】 已知f(x)＝若方程f(x)－a2＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________. 解析 作出函数f(x)＝的图象，如图所示． 方程f(x)－a2＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a2有三个不同的交点，根据图象可知，当0＜a2≤1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a2有三个不同的交点，故实数a的取值范围是[－1,0)∪(0,1]． 答案 [－1,0)∪(0,1] 【变式2】 已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－ax2有三个不同的零点，则a的取值范围是________. 解析 因为g(x)＝f(x)－ax2有三个不同的零点，则f(x)＝ax2有三个不同的实数根．当x＝0时，显然是其中一个实数根；当x≠0时，a＝＝则x≠0时，y＝a与y＝的图象有两个不同的交点，令h(x)＝，x>0，则h′(x)＝， 所以当x∈(0，)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．故h(x)极大值＝h()＝1. 当x<0时，＝x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立．作出y＝的图象，由图象可知，a的取值范围是(0,1)∪{－2}． 答案 (0,1)∪{－2} 应用三　解决复合函数零点有关问题 【例3】 设函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＝0有7个不同的实数解，则m＝(　　) A．6 B．4或6 C．6或2 D．2 答案　D 解析　画出f(x)的图象，如图所示．设f(x)＝t，f(x)＝t可能有0,2,3,4个解，原方程有7个不同的实数解，则要求方程t2－(2m＋1)t＋m2＝0的两根中一个根t对应3个x，此时t＝4，另一个根t对应4个x，此时0<t<4，即方程t2－(2m＋1)t＋m2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0,4)内．在方程中代入t＝4可得m＝2或m＝6.当m＝2时，另一根为1，符合题意；当m＝6时，另一根为9，不符合题意，舍去．综上，m＝2.故选D项． 归纳总结　复合函数相关的零点问题，常常把复合函数分解成两个简单函数，先画确定的简单函数的图象，然后明确对含参函数的要求，据此列出条件求解． 【变式3】 已知函数f(x)＝则关于x的方程f(f(x))＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有1个实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．其中真命题的所有序号是________． 解析 因为函数f(x)＝所以当x<0时，f(x)＝－2