第3部分 专题1 微专题1 构造法在函数与不等式中的应用（Word教参）- 【状元桥】2023高考数学二轮专题复习（新教材）

微专题1：构造法在函数与不等式中的应用 构造法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造出新函数，使问题在新函数下转化并利用新函数的有关性质解决原问题的方法． 几种导数的常见构造： (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)； 若遇到f′(x)>a(a≠0)，则可构造h(x)＝f(x)－ax. (2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． (3)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x)． (4)对于f′(x)>f(x)[或f′(x)－f(x)>0]，构造h(x)＝. (5)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x)． (6)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝. 应用一　构造法比较大小 【例1】 已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝20.2·f(20.2)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log39·f(log39)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．b>a>c 答案　D 解析　令h(x)＝xf(x)，因为函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以函数y＝f(x)为偶函数，又y＝x为奇函数，所以函数h(x)＝xf(x)为奇函数．因为h′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，因为h(x)为奇函数，所以当x∈(0，＋∞)时，函数h(x)单调递减．因为1<20.2<2，0<logπ3<1，log39＝2，所以0<logπ3<20.2<log39，所以b>a>c.故选D项． 【变式1】 (2023·湖北黄冈训练)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1,2]上单调递减，令a＝ln 3，b＝ln 2，c＝ln 2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　) A．f(b)<f(c)<f(a) B．f(a)<f(c)<f(b) C．f(c)<f(b)<f(a) D．f(c)<f(a)<f(b) 答案　B 解析　因为f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称．因为函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以函数f(x)在[－1,1]上单调递增，且f(2)＝f(0)＝0，由题意得a＝，b＝＝，c＝，设g(x)＝，则a＝g(9)，b＝g(4)，c＝g(8)，且g′(x)＝.令g′(x)>0，解得0<x<e，令g′(x)<0，解得x>e，所以函数g(x)＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以0<a<c<b<1，所以f(a)<f(c)<f(b)．故选B项． 应用二　构造法解不等式 【例2】 定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)＋1>0，f(2)＝－ln 2，则不等式f(ex)＋x>0的解集为 (　　) A．(0,2ln 2) B．(0，ln 2) C．(ln 2，＋∞) D．(ln 2,1) 答案　C 解析　设g(x)＝f(x)＋ln x(x>0)，由xf′(x)＋1>0可得g′(x)＝f′(x)＋>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(2)＝f(2)＋ln 2＝0，所以不等式f(ex)＋x>0等价于g(ex)＝f(ex)＋x>0＝g(2)，因此ex>2，所以x>ln 2，即不等式f(ex)＋x>0的解集为(ln 2，＋∞)．故选C项． 【变式2】 已知函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，且满足x>0时，ln x·f′(x)<－f(x)，则不等式(x－2 022)·f(x)>0的解集为________. 解析 设g(x)＝ln x·f(x)，则g′(x)＝·f(x)＋ln x·f′(x)．因为当x>0时，ln x·f′(x)<－f(x)，所以当x>0时，函数g(x)单调递减．因为 g(1)＝0，所以当0<x<1时，g(x)>0，当x>1时，g(x)<0.因为当0<x<1 时，ln x<0，当x>1时，ln x>0，所以当x>0且x≠1时，f(x)<0，又f′(1)·ln 1<－f(1)，所以f(1)<0，所以当x>0时，f(x)<0.又因为f(x)为奇函数，所以当x<0时，f(x)>0，所以不等式(x－2 022)f(x)>0可化为或解得0<x<2 022，所以不等式(x－2 022)f(x)>0的解集为(0,2 022)． 答案 (0,2 022) 应用三　构造法解恒成立问题 【例3】 若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)>0恒成立，对任