第2部分 第3关 练心智，用四法，突破压轴能得分（Word教参）- 【状元桥】2023高考数学二轮专题复习（新教材）

第3关　练心智，用四法，突破压轴能得分 [过关解读] 高考是一场智者的竞技，真正的高考高手是坦然的，他们懂得有舍才有得的真正道理，针对高考大题，特别是压轴题，哪些应该勇于割舍，哪些应该努力争取．本关教你四个策略，让你在考场上尽可能地多抢分、巧得分！ 策略一　缺步解答(能做多少做多少) 如果遇到一道较难的解答题，确定做不出最后结果，一个聪明的解题策略是将它们分解为一系列的步骤或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是那些解题层次明显的题目，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”． 【例1】 (2022·新高考Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 尝试解答　 抢分有招　本题难度较大，要想做题完整比较困难，但是不用担心，只要学会缺步解答，就可以多得分．第(1)问中先根据条件求出曲线方程，联立直线和曲线方程，得到一个关于x的一元二次方程，从而得出根与系数的关系，但是后续不知如何求解，作为考生就不用再考虑了(体现缺步解答)，可以先做第(2)问，借助直线PA，AQ的倾斜角和∠PAQ的关系求出直线PA，AQ的斜率，然后写出三角形的面积公式确定出需要求解的量，若后续不知如何求解，解题过程就写到这里就可以，结果虽不完整，运算虽不彻底，也可得到一定的分数．这就是缺步解答能得分． 规范解答 (1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1， 化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2， 故双曲线C的方程为－y2＝1. 由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kbx＋2b2＋2＝0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 又kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0， 化简得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4(b－1)＝0， 故＋(b－1－2k)－4(b－1)＝0， 整理得(k＋1)(b＋2k－1)＝0， 又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0， 故k＝－1. (2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，由题意知∠PAQ＝π－2θ， 所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2， 解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去)， 由得x1＝， 所以|AP|＝|x1－2|＝， 同理得x2＝， 所以|AQ|＝|x2－2|＝. 因为tan∠PAQ＝2， 所以sin∠PAQ＝， 故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝×××＝. 【跟踪演练1】 (2021·新高考Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，|MF1|－|MF2|＝2，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB与直线PQ的斜率之和． 解析 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，所以轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支，设此双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝2，即a＝1，所以b＝＝4，所以C的方程为x2－＝1(x≥1)． (2)设点T，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，所以过点T的直线的斜率存在． 不妨设直线AB的方程为y－t＝k1，即y＝k1x＋t－k1，联立消去y并整理可得(k－16)x2＋k1(2t－k1)x＋2＋16＝0， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1>且x2>. 由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|TA|·|TB|＝(1＋k)··＝(1＋k)·＝， 设直线PQ的斜率为k2， 同理可得|TP|·|TQ|＝， 因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|， 所以＝，整理可得k＝k， 即(k1－k2)(k1＋k2)＝0，显然k1－k2≠0，故k1＋k2＝0. 因此直线AB与直线PQ的斜率之和为0. 策略二　跳步解答(会做哪问做哪问) 解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答． 【例2】 设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)． (1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点； (2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围； (3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2