第2部分 第1关 树思想，悟方法，培植素养保基分（Word教参）- 【状元桥】2023高考数学二轮专题复习（新教材）

第1关　树思想，悟方法，培植素养保基分 [过关解读] 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学核心素养、数学思想方法的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维范畴，用以对数学问题进行认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想，他们是指引我们分析问题、解决问题的法宝．在二轮复习中学习此部分，带着方法去复习，带着问题去探究，可以使理论指导实践，这种一法一练的模式会对复习起到事半功倍的作用． 思想一　函数与方程思想 函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征．在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题．有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量． 【例1】 (1)设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为(　　) A．ea－1<a<ae B．ae<a<ea－1 C．ae<ea－1<a D．a<ea－1<ae (2)(2023·北京十二中练习)定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)满足f′(x1)＝，f′(x2)＝，则称函数f(x)是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f(x)＝2x3－x2是区间[0，m]上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　(1)设f(x)＝ex－x－1，x>0，则f′(x)＝ex－1>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，所以f(x)>0， 所以ex－1>x，即ea－1>a. 因为y＝ax(0<a<1)在R上单调递减， 所以a>ae.从而ea－1>a>ae.故选B项． (2)因为f(x)＝2x3－x2是[0，m]上的“双中值函数”，所以＝＝2m2－m，故f′(x)＝6x2－2x＝2m2－m 在[0，m]上有两个不同的实数根，令g(x)＝6x2－2x－2m2＋m，对称轴为x＝，则满足解得<m<.故选C项． 答案　(1)B　(2)C 拓展提升　应用函数与方程思想求解不等式或含参问题的技巧如下： (1)一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决； (2)利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识进行求解． 【跟踪演练1】 (1)已知m，n∈(2，e)，且－<ln ，则(　　) A．m>n B．m<n C．m>2＋ D．m，n的大小关系不确定 (2)已知a2－3a＝1，b2－3b＝1，且a≠b，则＋＝________. 解析 (1)由不等式可得－<ln m－ln n，即＋ln n<＋ln m．设f(x)＝＋ln x，x∈(2，e)，则f′(x)＝－＋＝.因为x∈(2，e)，所以f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)<f(m)，所以n<m.故选A项． (2)由题意可知a，b是方程x2－3x－1＝0的两个实数根，由根与系数的关系可知a＋b＝3，ab＝－1，所以＋＝＝＝32－2×(－1)＝11. 答案 (1)A　(2)11 【例2】 (2022·上海复兴中学期末)首项为，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，且bn＋5log2(1－Sn)＝t，常数t∈N*，数列{cn}满足cn＝anbn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若{cn}是严格减数列，求t的最小值． 解析　(1)由题意得an＝a1qn－1＝×n－1＝，Sn＝＝1－，所以bn＋5log2＝t，所以bn＝5n＋t. (2)由(1)和题意得cn＝anbn＝(5n＋t)·，因为{cn}是递减数列， 所以cn＋1－cn＝(5n＋5＋t)·－(5n＋t)·＝(5n＋5＋t－10n－2t)· ＝(5－5n－t)·<0 恒成立，所以5－5n－t<0恒成立，所以t>－5n＋5恒成立， 因为f(n)＝－5n＋5为递减函数，所以n＝1时，f(n)取得最大值f(1)＝－5＋5＝0， 所以t>0，又因为t∈N*，所以t的最小值为1. 拓展提升　数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下： (1)由其表达式判断单调性，求出最值； (2)由表达式不易判断单调性时，借助an＋1－an的正负判断其单调性． 【跟踪演练2】 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－17，从以下两个条件中任选其中一个：①S3＝－45，②a2＋a5＝－24. (1)求公差d及{a