12.1 全等三角形 —— 手拉手模型学案2022-2023学年人教版八年级数学上册

12.1《全等三角形》——“手拉手”模型 班级: 姓名: 手拉手模型: 定义:所谓手拉手模型,是指有公共顶点的两个等腰三角形(等边三角形或正方形),顶角相等。因为顶点相连的四条边,形象的可以看作两双手,所以通常称为手拉手模型。 基本模型: 例1、已知,△ABB'和△ACC'都是等腰三角形,AB=AB',AC=AC',且∠BAB'=∠CAC'。 三个结论 结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS) BC=B'C' 结论2:∠BOB'=∠BAB' 结论3: AO平分∠BOC' 一、共顶点的等腰直角三角形中的手拉手 例2、已知,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合),∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,∠DAE=90°,AD=AE,连接CE. (1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CE; ②CE=BC﹣CD. 知识迁移,探究发现 (2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CE,BC,CD三条线段之间的数量关系. 练习、如图,已知等腰直角△OAB中,∠AOB=90°,等腰直角△EOF中,∠EOF=90°,连接AE、BF. 求证:(1)AE=BF; (2)AE⊥BF 二、共顶点的等边三角形中的手拉手 例3、如图,直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形,连接AE、CD,二者交点为H. 求证: (1)△ABE≌△DBC; (2)AE=DC; (3)∠DHA=60°; (4)△AGB≌△DFB; (5)△EGB≌△CFB; (6)连接HB,HB平分∠AHC。 练习、(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:BE=AD. (2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC、等边△CDE和等边△BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是_(只填序号即可) ①AD=BE=CF; ②∠BEC=∠ADC; ③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°; 三、共顶点的正方形中的手拉手 例4、如图1,若四边形ABCD、GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE. (1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时,AG=CE,AG⊥CE是否成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由; (2)当正方形GFED绕D旋转到B,D,G在一条直线(如图3)上时,连接CE,设CE分别交AG、AD于P、H. ①中结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由; 练习1、如图,两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H. 求:(1)AG=CE (2)AG与CE之间的夹角为多少度? (3)HD平分∠AHE 练习2、将两块全等的直角三角形如图1摆放,其中∠DCE=∠ACB=90°,∠D=∠A. (1)求证:AB⊥DE (2)将图中的△DCE绕点C顺时针旋转45°得到图2, AB、CD交于点N,DE、BC交于M,求证:CM=CN. 学科网(北京)股份有限公司 $