第06讲 向量应用-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）

第06讲 向量应用 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用 1.能用向量方法解决简单的几何问题； 2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题； 3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力 ( 知识精讲 ) 知识点01 平面几何中的向量看法 1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义. (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件a//b⇔a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0). (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·b=0(或). (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 (5)对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题. 2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】在中，若，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案 D 解析： 因为， 所以为钝角， 所以一定是钝角三角形. 故选；D 知识点02 向量在物理中的应用 1.向量与力：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上. 2.向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标运算. 3.向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)。动量mv实际上是数乘向量. 4.用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 【即学即练2】已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （    ） A． B． C． D． 答案 B 解析： 因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为， 所以的大小为， 故选：B ( 能力拓展 ) 考法01 用向量解决夹角问题 【典例1】已知三点不共线，，若，则（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析： 因为， 所以即， 所以，所以， 又，，三点不共线，所以，所以，. 故选：B. 考法02 功、动量的计算 【典例2】已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（    ）（） A．， B．， C．， D．， 答案 A 解析： 解：由题可知，以木块运动的方向为正方向， 则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：， 则摩擦力为：， 则力做功为,摩擦力做功. 故选：A. ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知向量， 向量， 则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析： 在上的投影向量为 故选：A 2．已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析： 设的对应向量分别为，以为邻边作平行四边形, 如图，则对应力的合力， ∵的夹角为，∴四边形是矩形， 又合力与的夹角为， 在中，，， ∴. 故选：B． 3．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 答案 C 解析： 解：由题得v1和 v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为. 故选：C. 4．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 答案 C 解析： ∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 5．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________. 答案 且 解析： 由于与夹角