41微专题十二 几何中线段的最值问题 微专题精练-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

模型1　利用垂线段最短求最值 1．(2021·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动(含B，C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为(　　) A. B．5 C. D．3 2．(2021·广元)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是(　　) A. B．1 C. D. 3.(2021·郴州)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点，则PC＋PB的最小值为________． 4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为⊙A与AC边的交点，AD＝1，点E为⊙A上一动点，点F是边BC上一动点，设EF＝m. (1)连接AF，若AF经过△ABC的外心，则AF的长为________； (2)当点E落在AB边上，且m＝5时，求CF的长度； (3)当EF与⊙A相切时，求m的最大值与最小值． 模型2　将军饮马模型 5．(2022·河北模拟)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AC边上，CD＝1，点E是点D关于AB的对称点，P是BC上一点，将△PDC沿PD折叠得到△PDF，连接EF. 给出以下结论： 结论Ⅰ：当点P，F，E在同一条直线上时，EF＝； 结论Ⅱ：EF有最小值，此最小值为2－1. 下列说法中，正确的是(　　) A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对、Ⅰ对 D．Ⅰ对、Ⅱ不对 6．(2021·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为(　　) A．3 B．6 C．3 D．6 7．(2021·威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG.若AE＝BF，则BG的最小值为________． 8．(2021·聊城)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴上，B，D两点坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为________． 9．(2021·丹东)已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°.(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点)．若AB＝AC＝，BC＝2，点P为△ABC的费马点，则PA＋PB＋PC＝________；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，点P为△ABC的费马点，则PA＋PB＋PC＝________． 模型3　和圆有关的最值 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，连接DE，BF交于点G，则∠BGD＝________，四边形BCDG面积的最大值为________． 模型4　主从联动问题中的最值 11．(2021·宜宾)如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连接AP，点Q为AP的中点．若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是________． 12．如图，四边形ABCD是正方形，E是射线BP上的一点，以AE为边作正方形AEFG，连接AC，AF. (1)过点F作FH⊥BP于点H，求证：△ABE≌△EHF； (2)若AB＝2，求点D到点F的最小距离； (3)随着点E在射线BP上的运动变化，探索点G与直线CD之间的位置关系并说明理由． 13．(2021·宜宾)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2，8)，连接BC，BE，CE. (1)求抛物线的解析式； (2)判断△BCE的形状，并说明理由； (3)如图2，以点C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 模型5　利用二次函数的性质求最值 14．如图，P是抛物线y＝－x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为________． 15．(2021·东营)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝－x＋2过B，C两点，连接AC. (1)求抛物线的解析式； (2)求证：△AOC∽△ACB； (3)M(3，2)是抛物线上的一点，D