9.4 向量应用（四大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

9．4 向量应用 【题型归纳目录】 题型一：利用向量证明平面几何问题 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 题型三：向量在物理中的应用 题型四：平面几何中的平行（共线）问题 【知识点梳理】 知识点一：向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点二：向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： （1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． （3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． （4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 【典型例题】 题型一：利用向量证明平面几何问题 例1．（2022·全国·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【解析】证明：设， ． 因为四边形为菱形，所以， 又 则，故． 所以. 【方法技巧与总结】 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． （2）向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 例2．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. 【解析】设，，，则. 由，可设， 又，，可设， ∵， ∴， 综上，有，即， 由于与不共线，则，解得， ∴.同理，，. ∴. 例3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：． 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系： 设正方形的边长为2，则 ， ，即 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 例4．（2022·全国·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【解析】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 【方法技巧与总结】 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 例5．（2022·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 【解析】(1)由题意，，， 又， 所以， ，即，            = ， ，即； (2)， ==，   与的夹角即为， . 例6．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在中，D是的中点，. (1)若，求； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为， 所以， 故. （2）因为，所以，所以， 设. 因为， 所以，. 变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知菱形ABCD的三个顶点，，，求： (1)第四个顶点D的坐标； (2)菱形ABCD的面积． 【解析】(1)设，由， 得，解得，， 所以点的坐标为. (2)∵，，，， ∴， ∴菱形的面积. 题型三：向量在物理中的应用 例7．（2022·全国·高一专题练习）三个大小相同的力、、作用在同一物体上，使物体沿方向做匀速运动，设，，，判断的形状． 【解析】由题意可得，由于合力作用后做匀速运动，则，所以，， 作，则平行四边形为菱形，因为， 故为等边三角形，则， 因为，则，同理可得， 所以，，因此，为等边三角形. 【方法技巧与总结】 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． （3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． （4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 例8．（2022·全国·高一专题练习）如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d