第08讲 导数中的零点问题-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第08讲 导数中的零点问题 一、课标要求： 本单元的学习，可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念，希握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题。 导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 ②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。 二、知识梳理 1． 零点定义：对于函数，使得的实数叫做的零点． 即函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴交点的横坐标． 方程有实数根函数的图象与轴有交点 函数有零点． 2． 求函数的零点或求方程的根的方法： 【根据需要，相互转化．】 ①代数法：求函数的零点转化为求方程的根； 【此时解方程要熟练，含字母时会分类讨论求解】 ②几何法：求方程的根转化为求函数的零点，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根． 3． 连续函数零点判定定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根（亦即的零点） ． 说明： ①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一． ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定．不满足该定理的函数也可能有零点． （即逆命题为假命题）函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”， 对于“不变号零点”函数的零点， 定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题． ③若在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则在区间内有唯一零点． ④设，若在上有零点，则； ⑤会运用放缩法或估算，确定的符号（正负号） ，以便确认在区间有零点． ⑥可借助“” ， “”等符号或者说“充分大时” ，来说明在区间端点值的正负． 4． 根据含参数函数的零点个数，求参数取值范围的方法（无论客观题还是解答题，基本上都是要善于数形结合） ： ①函数有(个)零点方程有(个)实数根方程有(个)实数根 函数与的图象有(个)交点．（正转化、逆转化要熟练） ②分离参数法：方程有个根的图象与直线有个交点． 【注意区别】 方程有根 . 三、查缺补漏 一、模型 例1．讨论函数的零点个数. 二、模型 例2．讨论函数的零点个数. 三、模型 例3．讨论函数的零点个数. 四、模型 例4．讨论函数的零点个数. 五、模型 例5．讨论函数的零点个数. 六、模型 例6．讨论函数的零点个数. 七、导数隐零点巧设攻略 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式； 第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明． 有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，我们将其称为隐形零点三部曲．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)最后整体代入即可． 例7．函数．求证：当时，． 例8．已知函数． (1)当=0时，求函数的单调递增区间； (2)当>0时，若函数的最大值为，求的值． 三年真题： 一、选择题 1．(2021年高考全国乙卷理科·第10题)设，若为函数的极大值点，则 (　　) AB．C．D． 二、多选题 2．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数，则 (　　) A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 3．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四、解答题 4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． (1)求b． (2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 5．(2021年高考全国甲卷理科·第21题)已知且，函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 6．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点． (1)求a； (2)设函数．证明:． 7．(2022新高考全国I卷·第22题)已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 8．(2022年全国乙卷理科·第21题)已知函数 (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 9．(2022年全国甲卷理科·第21题)已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证