1.2 二次根式的性质（课件）-八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

二次根式的性质 浙教版·八年级下册 1 经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 01 02 学习目标 2 讲授新知 二次根式的双重非负性 问题 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当a＞0时，表示a的算术平方根 ∴＞0 当a=0时，表示0的算术平方根 ∴=0 ∴当a≥0时，≥0 3 归纳总结 被开方数非负a≥0 二次根式的值非负≥0 二次根式的双重非负性 二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道： (1) a为被开方数，为保证其有意义，可知 a≥0； (2)表示一个数或式的算术平方根，可知≥0. 4 典例精讲 a-2=0 解：由题意得 b-3=0 c -4=0 解得 a=2 b=3 c=4 ∴a-b+c=2-3+4=3 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 总结 5 变式训练 变式题 已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 解得 a=3 ∴b=4 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 6 讲授新知 （a≥0）的性质 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为（ ）2， 又∵面积为a， 即 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？ 7 活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方根的意义填空，你发现了什么？ 02 =0 观察两者有什么关系？ 8 根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由： 0 2 4 是一个平方等于2的非负数，因此()2=2.同理，，分别是0,4，的算术平方根，即得到上面的算式。 9 归纳总结 （a≥0）的性质 一般地， (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 10 典例精讲 例2 计算： 解： (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： （ab）2=a2b2 11 例3 在实数范围内分解因式： 解： 本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用. 总结 12 讲授新知 填一填： 4 0.01 0 2 0.1 0 观察两者有什么关系？ 的性质 13 4 0.01 2 0.1 观察两者有什么关系？ -a 的性质 14 归纳总结 a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 的性质 15 典例精讲 例4 化简： 16 √ √ × × 17 )2 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 意义 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 议一议：如何区别)2与 ？ 18 典例精讲 例5 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-(a-b) =-2a. 19 变式训练 变式题 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请化简 解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a - b＞0， 则 + |a-b| =|a+2b|+|a-b| = - a-2b+a-b = -3b 20 例6 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简： 利用三角形三边关系 三边长均为正数，a+b＞c 两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0 解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式= |a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| = a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） = a+b+c-b-c+a+b+a-c = 3a+b-c． 21 巩固练习 1. D 1 3 4 -a 22 4.如图， P( ) 是直角坐标系中一点