第10讲 条件概率-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第10讲 条件概率 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求条件概率 题型二：条件概率的性质及应用 题型三：全概率公式 题型四：贝叶斯公式 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了P（A），P（AB），P（B|A）三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）＝P（A）P（B|A）．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）＝1； （2）如果B与C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝P（B|A）＋P（C|A）； （3）设和B互为对立事件，则P（ ）＝1－P（B）． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P（B）>0， 有P（Ai＝ i＝1，2，…，n． 6、在贝叶斯公式中，P（Ai）和P（Ai |B）分别称为先验概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：利用定义求条件概率 例1．（2022·广东·东涌中学高三期中）某乒乓球训练馆使用、、三种不同品牌的乒乓球，以往使用的记录数据如下： 品牌名称 合格率 三种用球占比 96％ 30% 98％ 50% 97％ 20% 若这些球是均匀混合的，且无区别标志，现从中任取一球，该球为合格品的概率是______． 【答案】 【解析】根据题意，该球为合格品的概率． 故答案为：． 例2．（2022·全国·高三专题练习）从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______． 【答案】 【解析】设事件表示“甲取到的数比乙大”，事件表示“甲取到的数是5的倍数”， 则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为， ， ， 所以， 即甲取到的数大于乙取到的数的概率为． 故答案为：． 例3．（2022·上海·闵行中学高三开学考试）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不完全相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则______． 【答案】 【解析】小赵独自去一个景点，则有4个景点可选， 其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种，所以小赵独自去一个景点的可能性为种， 因为4个人去的景点不完全相同的可能性为种，所以． 故答案为：． 题型二：条件概率的性质及应用 例4．（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学高三开学考试）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 A，B对立 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 【答案】C 【解析】对A，，故A错误； 对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误； 对C，根据独立事件定义，故C正确； 对D，若A，B互斥，则，故D错误； 故选：C 例5．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知事件相互独立，则（    ） A．事件与事件不相互独立 B． C．事件与事件互斥 D．在事件发生的条件下，事件与事件互为对立事件 【答案】BCD 【解析】因为 ，因此事件与事件相互独立，故A错误； 因为，故B正确； 因为事件相互独立，由A选项证得的结论知事件与事件相互独立， 因此与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； ， ， 又因为，所以在事件发生的条件下，事件与事件互为对立事件，故D正确， 故选：BCD． 例6．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】AB 【解析】由条件概率公式及知：，故A正确； 当事件包含事件有，此时，故B正确； 由于，，故C，D错误． 故选：AB 例7．（2022·全国·高二课时练习）以下有关条件概率的所有正确命题的序号是______． ①； ②若事件A与事件B互斥，则； ③若和B互为对立事件，则． 【答案】①②③ 【解析】对于①，条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即，故正确； 对