第05讲 平方差公式和完全平方公式（讲义）-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（北师大版）

第05讲 平方差公式和完全平方公式 【题型导航】 目录 第05讲 平方差公式和完全平方公式 1 【基础知识点】 1 【重难点剖析】 2 【题型1 运用平方差公式进行运算】 2 【题型2 平方差公式与几何图形】 3 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 6 【题型4 求完全平方式中的字母系数】 7 【题型5 通过对完全平方公式变形求值】 8 【题型6 平方差公式与几何图形】 10 【过关检测卷】 13 【基础知识点】 一、平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。 　即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b² （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 二、完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² 完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1） 公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2） 公式的变化： ①a²+b²=(a+b)²-2ab ②a²+b²=(a-b)²+2ab ③(a+b)²=(a-b)²+4ab ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab ⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab 三、平方差和完全平方差 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【重难点剖析】 【题型1 运用平方差公式进行运算】 例题：（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________； 【变式训练】 1．（2022·天津市北仓第二中学八年级阶段练习）计算：______；______． 2．（2022·黑龙江大庆·七年级期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型2 平方差公式与几何图形】 例题：（2022·四川省仁寿实验中学七年级期中）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果： ． 【变式训练】 1．（2022·河南·扶沟县第一初级中学八年级阶段练习）乘法公式的探究与应用： (1)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形；请你写出阴影部分面积是___________； (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图，则长方形的长是___________，宽是___________，面积是___________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较两图阴影部分的面积，可以得到恒等式___________； (4)应用你从（3）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为___________； ②计算：…． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 例题：（2022·上海市梅陇中学七年级期中）计算： 【变式训练】 1．（2022·上海民办华曜宝山实验学校七年级期中）计算： 2．（2022·上海市淞谊中学七年级期中）先化简再求值：，其中，． 【题型4 求完全平方式中的字母系数】 例题：（2022·天津市北仓第二中学八年级阶段练习）若是完全平方式，则的值是______． 【变式训练】 1．（2022·上海·测试·编辑教研五七年级期中）如果二次三项式是完全平方式，那么常数___________； 2．（2022·上海市淞谊中学七年级期中）如果是一个完全平方式，那么的值是________． 【题型5 通过对完全平方公式变形求值】 例题：（2022·四川·山市中区教育局八年级期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2022·上海普陀·七年级期中）已知