第5章第4节 三角函数的图象与性质-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第四节　三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 函数的 最值 最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z； 最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z 最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z； 最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z 无最大值 和最小值 单调性 增区间(k∈Z)； 减区间(k∈Z) 增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)； 减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z) 增区间(k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z 考点一　三角函数的定义域、值域(最值) (1)函数y＝的定义域为________． (2)函数f(x)＝3sin (2x－)在区间[0, ]上的值域为________． 【解析】　(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0, 2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0, 2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为. (2)当x∈时， 2x－∈，sin ∈， 故3sin ∈. 即此时函数f(x)的值域是. 【答案】　(1)(k∈Z)　(2) 【名师点评】 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数的图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域． [针对训练] 1．函数f(x)＝－2tan 的定义域是(　　) A．　　　　　 B． C. D. 【解析】　选D.由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z). 考点二　三角函数的单调性 角度一　求三角函数的单调区间 (2022·湖北武汉华中师范大学第一附属中学模拟)已知函数f(x)＝sin ＋2cos2ωx(ω>0)的周期为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)≥，求x的取值范围． 【解析】　(1)f(x)＝sin＋2cos2ωx＝sin2ωx－ cos 2ωx＋1＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋ cos 2ωx＋1＝sin ＋1， ∵T＝＝π，∴ω＝1. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)∵f(x)≥，∴sin ＋1≥， ∴sin ≥－， ∴2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)≥时，x的取值范围为，k∈Z. 角度二　已知三角函数的单调区间求参数 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 (一题多解)(2022·湖南师大附中3月月考)若函数f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　法一：因为f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增， 所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B. 法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B. 【答案】　B 【名师点评】 1．已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2．已知单调区间求参数的三种方法 (1)子集法