第5章第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

【答案】　(1)D　(2) 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．　 角度二　判断三角函数值的符号 若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C. 【答案】　C 三角函数值的符号及角的位置的判断 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．　 [针对训练] 5．(2022·江西九江一模)若sin x<0，且sin (cos x)>0，则角x是　(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】　选D.因为－1≤cos x≤1，且sin (cos x)>0，所以0<cos x≤1， 又sin x<0，所以角x为第四象限角，故选D. 6．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【解析】　选A.由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝. 所以Q点的坐标为. 7．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________． 【解析】　因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0. 【答案】　0 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1． (2)商数关系：tanx＝. 2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α 正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α 常用结论 1．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. (3)sin2α＝＝； cos2α＝＝. 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 角度一　公式的直接应用 (2022·河北衡水中学高三临考模拟)已知cos ＝－，α∈，则tan α＝(　　) A．2　　　 B．　　　 C．1　　　 D． 【解析】　∵cos ＝sin α＝－，α∈， ∴cos α＝－＝－， ∴tanα＝2. 【答案】　A 角度二　sin α，cos α的齐次式问题 已知＝－1，求下列各式的值． (1)； (2)sin2α＋sinαcos α＋2. 【解】　由已知得tan α＝. (1)＝＝－. (2)sin2α＋sinαcos α＋2＝＋2 ＝＋2＝＋2＝. 角度三　sinα±cos α与sin αcos α关系的应用 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值； (2)求的值． 【解】　(1)由sin α＋cos α＝， 得sin2α＋2sinαcos α＋cos2x＝， 整理得2sinx cos x＝－. 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝. 由x∈(－π，0)，知sin x<0，