第5章第1节 任意角和弧度制及三角函数的概念-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

|第五章　三角函数(这是边文，请据需要手工删加) 第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念 1．任意角 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的分类：按旋转方向分为正角、负角、零角． (3)与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制 (1)弧度角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角． (2)度与弧度的换算：180°＝πrad，1°＝rad，1 rad＝度． (3)扇形的弧长和面积公式： 设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝Ra，S＝lR． 3．任意角的三角函数 (1)终边与单位圆交点P(x，y)，sin α＝y；cos α＝x，tan α＝(x≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝，cos α＝，tan α(x≠0). 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．若α∈，则tan α>α>sin α. 　 4．象限角的集合 5．特殊角的三角函数值 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π sin α 0 1 0 －1 0 cos α 1 0 － － － －1 0 1 tan α 0 1 不存在 － －1 － 0 不存在 0 考点一　象限角与终边相同的角 若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【解析】　因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角． 所以是第一或第三象限角． 【答案】　C [针对训练] 1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 【解析】　所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－≤k<－(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1， 代入得β＝－675°和β＝－315°. 【答案】　－675°和－315° 2．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 【解析】　如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，； 在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为. 【答案】　 【名师点评】 1．终边相同的角的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 3．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 (1)将θ的范围用含有k的不等式表示； (2)两边同时除以n或乘n； (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． [提醒]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在的直线上的角． 考点二　弧度制、扇形的弧长及面积公式 已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm). (2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 【名师点评】 弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角). (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．