第4章第3节 导数与函数的极值、最值-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

所以实数a的取值范围为(0，3). 【名师点评】 1．利用导数比较函数值的大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较函数值的大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较函数值的大小或解不等式． 2．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值的问题，求出参数的取值范围． (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，当区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 第三节　导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 (1)极大值与导数 x x0左侧 x0 x0右侧 f′ (x) f′(x)>0 f′(x0)＝0 f′(x)<0 f(x) 增 极大值f(x0) 减 (2)极小值与导数 x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f′(x)<0 f′(x0)＝0 f′(x)>0 f(x) 减 极小值f(x0) 增 (1)f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系． 函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (2)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值． (3)函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点．　 2．函数的最值与导数 求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： 第一步求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； 第二步将第一步求得的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，得到f(x)在[a，b]的最大值与最小值． (1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的． (2)连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得；定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值． (3)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大值和最小值是唯一的．　 考点一　用导数解决函数的极值问题 角度一　根据图象判断函数的极值 (多选)已知函数f(x)的定义域为[－1, 5]，部分对应值如表， x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．函数f(x)的极大值点有2个 B．函数f(x)在[0, 2]上是减函数 C.当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点 【解析】　由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数f(x)取得极大值；当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A中结论正确； 易知函数f(x)在[0, 2]上是减函数，故B中结论正确； 当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5， 故C中结论错误； 令y＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a， 当f(2)≤1, 1<a<2时， 易知f(x)＝a有四个根； 当1<f(2)<2, 1<a<2时， 易知f(x)＝a不一定有四个根， 故函数y＝f(x)－a有4个零点不一定正确， 故D中结论错误，故选A、B. 【答案】　AB 角度二　求函数的极值 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 【解】　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  ln 2－1  故f(x)在定义域内的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0) . 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域内无极值点； 当a>0时，若x∈，则f′(