第3章第8节 函数的应用-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

A．　　　　　　 B． C．(1，2) D．(2，＋∞) 【解析】　选B.先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为. 5．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________． 【解析】　 函数f(x)的图象大致如图所示． 因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0， 所以2xf(x)<0. 由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3). 【答案】　(－3，0)∪(0，3) 第八节　函数的应用 第一课时　函数的零点与方程的解、二分法 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 考点一　函数零点及其所在区间的判断 (一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【解析】　法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内． 法二 (图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B. 【答案】　B 判断函数零点所在区间的方法 方法 解读 适合题型 定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负 图象法 画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象 　 [针对训练] 1．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　) A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0] 解析：选D.因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0. 考点二　确定函数的零点个数 角度　函数零点个数的判断 (一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】　法一(方程法)：由f(x)＝0， 得或 解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点． 法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点． 【答案】　B 判断函数零点个数的3种方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点． (3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　 [针对训练] 2．已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　选C.当x>1时，令f(x)＝ln (x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C. 考点三　函数零点的应用 (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)