第3章第6节 对数、对数函数-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

所以f(x)＝ 当f(x－2)>0时， 有或 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 【答案】　{x|x>4或x<0} 第六节　对数、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①alogaN＝N； ②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)换底公式： logab＝(a，c均大于0且不等于1，b>0). (3)对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0.N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1,0) 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．换底公式的三个重要结论 ①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大． 考点一　对数式的化简与求值 (1)计算：lg －lg 8＋lg 7＝________． (2)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________． (3)若lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则log的值为________． 【解析】　(1)原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝. (2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. (3)依题意，可得lg (xy)＝lg (2x－3y)2， 即xy＝4x2－12xy＋9y2， 整理得：4－13＋9＝0，解得＝1或＝. 因为x>0，y>0，2x－3y>0， 所以＝，所以log＝2. 【答案】　(1)　(2)2　(3)2 [针对训练] 1．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ 【解析】　选AD.∵a、b、c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M， ∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则＝logM4，＝logM6，＝logM9， ∵logM4＋logM9＝2logM6，∴＋＝， 即＝－，去分母整理得，ab＋bc＝2ac.故选A、D. 2．计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． 【解析】　原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 【答案】　0 3．计算：×100＝________． 【解析】　原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 【答案】　－20 4．计算：＝________． 【解析】　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 【答案】　1 【名师点评】 1．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数，然后逆用对数的运算法则，化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3．ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 考点二　对数函数的图象及其应用 (1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________． 【解析】　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B. (2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax， 当a>1时不满足条件， 当0<a<1时，画出两个函数在上的图象， 可知，只需两图象在上有交点