第3章第5节 指数、指数函数-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．第五节　指数、指数函数 1．根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 3．指数函数的定义、图象与性质 (1)定义：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象特征 在x轴上方，过定点(0,1) 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 单调递增 单调递减 函数值变化规律 当x＝0时，y＝1 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．　 考点一　指数幂的化简与求值 (1)计算：－＋＋(0.002)－＝________． (2)化简4a·b－÷的结果为________． (3)计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________． (4)已知x＋x－＝3，则x2＋x－2＋3＝________． 【解析】　(1)原式＝－＋＋ ＝－＋＋10＝10. (2)原式＝4÷a－b－－＝－6ab－1＝－. (3)原式＝＋＋－3＋ ＝＋100＋－3＋＝100. (4)由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2＋3＝50. 【答案】　(1)10　(2)－　(3)100　(4)50 　 [针对训练] 1．0.027－－＋－(－1)0＝________． 【解析】　0.027－－＋－(－1)0＝0.3－1－49＋－1＝－50＋＋＝－45. 【答案】　－45 2．(2ab)(－6ab)÷(－3ab)(a>0且b>0)＝________． 【解析】　(2ab)(－6ab)÷(－3ab) ＝·a＋－b＋－＝4a. 【答案】　4a 3．化简下列各式： (1)＋2－2×－(0.01)0.5； (2)(a>0，b>0). 【解】　(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝. 考点二　指数函数的图象及应用 (1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求． (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]. 【答案】　(1)A　(2)(－∞，0] [针对训练] 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 4．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 【解析】　选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0. 5．(多选)已知实数a，b满足等式()a＝()b，则下列关系式中不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 【解析】　 选CD.画出函数y＝()x和y＝()x的图象，如图所示， 结合图象分析a，b满足等式()a＝()b时，a，b的大小关系．易知，若a，b均为正数，则a>b>0；若a，b均为负数，则a<b<0；若a＝b＝0，则()a＝()b＝1.故选CD. 【名师点评】 应用指数函数图象的3个技巧 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0