第3章第4节 幂函数-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

法二：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，由题意知，当－1≤x<0时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1时，f(x)＝x3，当1<x≤3时，－1<x－2≤1，f(x)＝－(x－2)3，所以f＝－＝－. 【答案】　－ 【名师点评】 函数性质综合应用的注意点 (1)函数单调性与奇偶性综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性综合：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。 (3)周期性、奇偶性与单调性综合：解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． [针对训练] 5．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x).若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)(　　) A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 【解析】　选B.由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数． 第四节　幂函数 1．幂函数的图象与性质 (1)常见的5种幂函数的图象 (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当a>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当a<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内．　 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 考点一　幂函数的图象与性质 (1)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 (2)已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b (3)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 【解析】　(1)设f(x)＝xα，由已知得＝， 解得α＝－1， 因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数． (2)因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C. (3)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D. 【答案】　(1)A　(2)C　(3)D [针对训练] 1．(多选)已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2，8)，下列说法正确的是(　　) A．函数y＝xα的图象过原点 B．函数y＝xα是偶函数 C．函数y＝xα是单调减函数 D．函数y＝xα的值域为R 【解析】　选AD.因为幂函数y＝xα的图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以y＝x3.函数y＝x3的图象过原点，所以A选项中说法正确；函数y＝x3是奇函数，所以B选项中说法错误；函数y＝x2在R上递增，所以C选项中说法错误；函数y＝x3值域为R，所以D选项中说法正确． 2．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 【解析】　易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以解得－1≤a<. 【答案】　 考点二　二次函数的图象与解析式 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】　法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得